매개변수 함수의 미분

운동장 트랙을 도는 사람의 위치는 시간 \(t\)에 따라 \(x\)좌표와 \(y\)좌표가 함께 바뀐다. 트랙처럼 둥근 곡선은 \(y\)를 \(x\)의 함수 하나로 나타내기 어렵다. 한 \(x\)에 \(y\)가 두 개씩 있기 때문이다. 이런 곡선 위 한 점에서 접선의 기울기는 어떻게 구할까?

매개변수 \(t\)

2.6.1매개변수로 나타낸 곡선

두 변수 \(x\), \(y\)를 제3의 변수 \(t\)의 함수 \(x = f(t)\), \(y = g(t)\)로 나타낸 것을 매개변수로 나타낸 함수라 하고, \(t\)를 매개변수라 한다. \(t\)를 시간으로 보면 점이 평면 위를 움직이는 경로가 된다. 원 \(x^2 + y^2 = 1\)은 \(x = \cos t\), \(y = \sin t\)로, 그림 1의 타원 \(\dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1\)은 \(x = 2\cos t\), \(y = \sin t\)로 나타낼 수 있다.

2.6.2매개변수로 나타낸 함수의 미분

곡선의 일부에서 \(y\)를 \(x\)의 함수로 볼 수 있다면, 합성함수의 미분법에 의해 \(\dfrac{dy}{dt} = \dfrac{dy}{dx} \cdot \dfrac{dx}{dt}\)이다. 따라서 \(\dfrac{dx}{dt} \ne 0\)인 곳에서 양변을 \(\dfrac{dx}{dt}\)로 나누면 접선의 기울기를 얻는다.

그림 1에서 \(t\)를 움직여 보자. \(t = 0\)이나 \(t = \pi\)에서는 \(\dfrac{dx}{dt} = -2\sin t = 0\)이므로 접선이 세로선이 된다. \(t = \dfrac{\pi}{2}\)에서는 \(\dfrac{dy}{dt} = \cos t = 0\)이므로 접선이 가로선이다. 한 \(x\)에 \(y\)가 두 개인 곡선이지만, \(t\)를 거치면 각 점의 접선을 문제없이 구할 수 있다.¹

2.6.3예제 풀이

\(t = \dfrac{\pi}{4}\)인 점은 \(\left(2 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = \left(\sqrt{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\)이다. \(\dfrac{dx}{dt} = -2\sin t = -\sqrt{2}\), \(\dfrac{dy}{dt} = \cos t = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)이므로 기울기는 \(\dfrac{\sqrt{2}/2}{-\sqrt{2}} = -\dfrac{1}{2}\)이다.

접선은 \(y - \dfrac{\sqrt{2}}{2} = -\dfrac{1}{2}(x - \sqrt{2})\), 정리하면 \(y = -\dfrac{1}{2}x + \sqrt{2}\)이다. 확인으로 타원의 방정식 \(\dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1\)을 음함수로 미분하면 \(\dfrac{x}{2} + 2yy' = 0\)에서 \(y' = -\dfrac{x}{4y} = -\dfrac{\sqrt{2}}{4 \cdot \sqrt{2}/2} = -\dfrac{1}{2}\)로 같은 기울기가 나온다.

아래 탐구 카드에서 매개변수 곡선의 접선과, 같은 곡선을 다른 매개변수로 나타낼 때의 기울기를 직접 비교해 보자.

1. 같은 곡선을 \(x = 2\cos 2t\), \(y = \sin 2t\)처럼 다른 매개변수로 나타내면 점이 두 배 빨리 돌지만, \(\dfrac{dy/dt}{dx/dt}\)에서 2가 약분되어 기울기는 같다. 기울기는 곡선의 모양에만 달려 있다.