평면곡선의 매개변수 방정식

반지름 30 cm인 자전거 바퀴의 테두리에 반사판이 붙어 있다. 밤에 옆에서 사진을 오래 노출해 찍으니, 반사판의 빛이 땅에 닿았다가 솟아오르고 다시 땅에 닿는 아치를 되풀이해 그렸다. 땅에 닿는 곳은 뾰족하고, 꼭대기는 바퀴 지름만큼 높았다. 이 곡선은 \(y = f(x)\) 꼴로 쓰기 어렵지만, 바퀴가 돈 각을 \(t\)로 두고 \(x\)와 \(y\)를 각각 \(t\)의 식으로 쓰면 간단해진다고 한다. 어떻게 쓸까? 아치 하나의 길이는 얼마일까?

2.1.1두 좌표를 따로 쓰다

평면 위를 움직이는 점의 위치를 시간이나 각 같은 매개변수 \(t\)의 함수 \(x = f(t)\), \(y = g(t)\)로 나타낸 것을 곡선의 매개변수 방정식이라 한다. \(y\)를 \(x\)의 함수로 쓸 수 없는 곡선, 곧 한 \(x\)에 여러 \(y\)가 대응하거나 되돌아오는 곡선도 매개변수로는 쉽게 쓸 수 있다. 원 \(x = r\cos t\), \(y = r\sin t\)가 그 예이다. 또 매개변수는 곡선의 모양뿐 아니라 점이 곡선을 따라 움직이는 방향과 빠르기까지 알려 준다.

원이 각 \(t\)만큼 구르면 미끄러지지 않으므로 땅에 닿은 호의 길이 \(rt\)만큼 중심이 앞으로 간다. 그래서 중심은 \((rt, r)\)에 있다. 원 위의 점은 처음에 땅에 닿아 있었고, 중심에서 보면 \(t\)만큼 시계 방향으로 돌아 \((-r\sin t, -r\cos t)\)만큼 떨어져 있다. 두 위치를 더하면 사이클로이드의 식이 나온다. \(t = 2\pi\)마다 점이 다시 땅에 닿으므로 아치의 폭은 바퀴 둘레 \(2\pi r\)이다.¹

2.1.2두 방향의 흔들림이 만드는 무늬

가로와 세로로 따로 흔들리는 점은 \(x = \sin at\), \(y = \sin bt\) 꼴로 움직이며, 그 자취를 리사주 곡선이라 한다. \(a = b\)이면 대각선 위를 오가는 선분이나 타원이 되고, \(a : b = 1 : 2\)이면 8자, \(2 : 3\)이면 더 복잡한 매듭 모양이 된다. 두 진동수의 비가 유리수이면 점이 언젠가 처음 자리로 돌아와 닫힌 곡선이 되고, 무리수이면 영원히 닫히지 않고 직사각형을 채워 간다. 오실로스코프로 두 신호의 진동수 비를 잴 때 이 무늬를 쓴다.

2.1.3예제 풀이

\(\dfrac{dx}{dt} = r(1 - \cos t)\), \(\dfrac{dy}{dt} = r\sin t\)이므로 \(\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2 = r^2(2 - 2\cos t) = 4r^2\sin^2\dfrac t2\)이다. 아치 하나의 길이는 \(\int_0^{2\pi}2r\sin\dfrac t2\,dt = 2r\left[-2\cos\dfrac t2\right]_0^{2\pi} = 8r\)이고, \(r = 30\)이면 240 cm이다.

\(t = \pi\)일 때 위치는 \((30\pi, 60) \approx (94.2, 60)\)으로 꼭대기이고, 속도는 \((r(1 - \cos\pi), r\sin\pi) = (2r, 0)\)으로 수평 방향이다. 이때 반사판은 바퀴 중심의 두 배 빠르기로 앞으로 움직인다. 반대로 \(t = 0\)에서는 속도가 \((0, 0)\)이어서 땅에 닿는 순간 반사판은 잠깐 멈추고, 그래서 곡선이 뾰족해진다. 즉 매개변수 방정식은 두 좌표를 각각 매개변수의 함수로 써서 \(y = f(x)\)로 쓰기 어려운 곡선을 나타내고, 그 도함수로 곡선의 길이와 점의 속도까지 구하게 해 준다.

아래 탐구 카드에서 굴러가는 바퀴 위의 점이 그리는 곡선을 그려 보고, 가로와 세로로 따로 흔들리는 점이 어떤 무늬를 그리는지 확인해 보자.

1. 사이클로이드는 같은 높이에서 출발한 공이 가장 빨리 내려오는 미끄럼틀의 모양이기도 하다. 1696년 요한 베르누이가 낸 이 최단 강하선 문제를 뉴턴, 라이프니츠, 야코프 베르누이 등이 풀어 모두 사이클로이드라는 답을 얻었다.