점의 자취 탐구

길이 4 m인 사다리가 수직인 벽에 기대어 서 있다가, 아래 끝이 바닥을 따라 미끄러지며 넘어진다. 사다리의 위 끝은 벽을 따라, 아래 끝은 바닥을 따라 움직인다. 사다리 가운데에 묶인 페인트 통은 어떤 길을 그릴까? 직선일 것 같기도 하고 바깥으로 불룩한 곡선일 것 같기도 하다. 한편 두 점 \(A(0, 0)\), \(B(3, 0)\)까지의 거리의 비가 \(2 : 1\)인 점들은 어디에 모일까? 조건을 만족하는 점들의 모임을 식으로 구하는 방법을 알아보자.

2.2.1조건을 식으로 바꾸다

주어진 조건을 만족하는 점 전체의 모임을 자취라 한다. 자취를 구하려면 움직이는 점을 \(P(x, y)\)로 놓고, 조건을 \(x\)와 \(y\)의 식으로 바꾼 뒤 정리해 어떤 도형의 방정식인지 알아본다. 조건이 다른 움직이는 양으로 주어지면 그 양을 매개변수로 삼아 \(x\)와 \(y\)를 각각 쓴 뒤 매개변수를 없앤다. 마지막에는 식을 만족하는 모든 점이 실제로 조건을 만족하는지, 곧 자취가 도형 전체인지 일부인지 확인한다.

사다리의 아래 끝을 \((a, 0)\), 위 끝을 \((0, b)\)라 하면 \(a^2 + b^2 = L^2\)이다. 가운데 점은 \(\left(\tfrac a2, \tfrac b2\right)\)이므로 \(x = a/2\), \(y = b/2\)로 놓으면 \(x^2 + y^2 = (a^2 + b^2)/4 = (L/2)^2\)이다. 그래서 가운데 점은 원점에서 늘 \(L/2\)만큼 떨어져 있다. 직각삼각형의 빗변의 중점이 세 꼭짓점에서 같은 거리에 있다는 성질과 같은 이야기이다. 사다리가 벽에 서 있을 때부터 바닥에 누울 때까지 움직이므로 자취는 원 전체가 아니라 제1사분면의 사분원이다.¹

2.2.2거리의 비가 일정한 점

\(PA : PB = 2 : 1\)이면 \(PA = 2PB\)이고, 양변을 제곱해 \(x^2 + y^2 = 4[(x - 3)^2 + y^2]\)이다. 정리하면 \(3x^2 + 3y^2 - 24x + 36 = 0\), 곧 \((x - 4)^2 + y^2 = 4\)로 중심 \((4, 0)\), 반지름 2인 원이다. 이 원은 선분 \(AB\)를 \(2 : 1\)로 내분하는 점 \((2, 0)\)과 외분하는 점 \((6, 0)\)을 지름의 두 끝으로 한다. 비가 \(1 : 1\)이면 원이 아니라 \(AB\)의 수직이등분선이 된다.

2.2.3예제 풀이

사다리와 바닥이 이루는 각이 \(\theta\)이면 아래 끝은 \((4\cos\theta, 0)\), 위 끝은 \((0, 4\sin\theta)\)이다. 등불은 아래 끝에서 위 끝 쪽으로 사다리 길이의 \(1/4\)만큼 간 점이므로 \(x = 4\cos\theta - \cos\theta = 3\cos\theta\), \(y = \sin\theta\)이다.

\(\cos\theta = x/3\), \(\sin\theta = y\)를 \(\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\)에 넣으면 \(\dfrac{x^2}{9} + y^2 = 1\)이다. 그래서 등불은 긴반지름 3, 짧은반지름 1인 타원의 사분의 일을 그린다. 가운데 점만 원을 그리고, 다른 점들은 타원을 그리는 것이다. 즉 자취는 움직이는 점을 좌표나 매개변수로 나타내 조건을 식으로 바꾸고 정리해 구하며, 같은 사다리에서도 점의 위치에 따라 원이나 타원처럼 다른 자취가 나온다.

아래 탐구 카드에서 벽에서 미끄러지는 사다리의 여러 점이 그리는 길을 그려 보고, 두 점까지 거리의 비가 일정한 점들이 어디에 모이는지 확인해 보자.

1. 막대의 두 끝을 수직인 두 홈을 따라 미끄러지게 하고 막대 위의 한 점에 펜을 달면 타원을 그릴 수 있다. 이 도구를 아르키메데스의 타원 컴퍼스라 하며, 목수들은 지금도 타원 모양의 창틀을 그릴 때 이 원리를 쓴다.