공간곡선의 매개변수 방정식

반지름 1 cm인 원통에 철사를 감아 10바퀴에 높이 5 cm인 용수철을 만들려 한다. 철사는 원통을 한 바퀴 돌 때마다 0.5 cm씩 올라간다. 위에서 내려다보면 철사는 원을 그리고, 옆에서 보면 물결을 그린다. 이런 곡선은 평면 위에 있지 않아서 공간의 세 좌표를 모두 써야 한다. 세 좌표를 하나의 매개변수로 어떻게 쓸까? 그리고 용수철 하나를 만드는 데 철사가 얼마나 필요할까?

2.3.1세 좌표를 하나의 매개변수로

공간에서 움직이는 점은 매개변수 \(t\)로 \(x = f(t)\), \(y = g(t)\), \(z = h(t)\)처럼 세 좌표를 각각 나타낸다. 위치벡터로 쓰면 \(\vec r(t) = (f(t), g(t), h(t))\)이다. 평면곡선과 달리 공간곡선은 한 평면에 들어가지 않을 수 있어, 두 좌표의 관계식 하나로는 나타낼 수 없다. 식을 보고 모양을 알아보려면 두 좌표씩 짝지어 좌표평면에 비친 그림자를 생각한다. 예를 들어 \(x\)와 \(y\)가 원을 그리면 위에서 본 모양이 원이다.

나선의 \(x\)와 \(y\)는 원을 그리므로 위에서 보면 반지름 \(R\)인 원이고, \(z = ct\)는 일정하게 늘어나므로 돌면서 고르게 올라간다. 원통을 세로로 잘라 펼치면 나선은 기울기가 일정한 직선이 된다. 한 바퀴는 밑변이 원의 둘레 \(2\pi R\), 높이가 \(2\pi c\)인 직각삼각형의 빗변이어서 길이가 \(2\pi\sqrt{R^2 + c^2}\)이다. 적분으로 구해도 \(|\vec r'(t)| = \sqrt{R^2 + c^2}\)이 일정하므로 같은 값이 나온다.¹

2.3.2식에서 모양 읽기

\((\cos t, \sin t, \sin 2t)\)는 위에서 보면 원이지만, 높이가 한 바퀴에 두 번 오르내려 감자칩 가장자리 같은 물결 모양의 닫힌 곡선이다. \((t, t^2, t^3)\)은 세 그림자가 각각 직선, 포물선, 삼차곡선인 뒤틀린 곡선이다. \((\cos t, \sin t, 0)\)처럼 한 좌표가 상수이면 그 평면 위의 곡선이다. 이렇게 두 좌표씩 짝지어 보면 그리기 어려운 공간곡선의 모양도 알 수 있다.

2.3.3예제 풀이

반지름 \(R = 1\)이고 한 바퀴에 0.5 cm 오르므로 \(2\pi c = 0.5\), 곧 \(c = \dfrac{0.5}{2\pi} \approx 0.0796\)이다. 그래서 용수철은 \(\vec r(t) = (\cos t, \sin t, 0.0796t)\), \(0 \le t \le 20\pi\)이다. 끝에서 \(z = 0.0796\times20\pi \approx 5\) cm로 높이와 맞는다.

한 바퀴의 길이는 \(\sqrt{(2\pi)^2 + 0.5^2} = \sqrt{39.48 + 0.25} \approx 6.303\) cm이고, 10바퀴이면 약 63.0 cm이다. 원 10개의 둘레 \(62.8\) cm보다 0.2 cm쯤 길 뿐이다. 오르는 높이가 둘레에 비해 아주 작아서, 철사 길이는 거의 원의 둘레로 정해진다. 즉 공간곡선은 세 좌표를 하나의 매개변수로 나타내며, 두 좌표씩 짝지은 그림자로 모양을 읽고, 나선처럼 원통을 펼쳐 평면의 직선으로 바꾸면 길이도 쉽게 구한다.

아래 탐구 카드에서 용수철과 나사의 모양을 매개변수 방정식으로 나타내 보고, 식만 보고 공간곡선의 모양을 알아맞혀 보자.

1. DNA 분자는 두 가닥의 나선이 꼬인 이중 나선 구조이다. 한 바퀴에 약 3.4 nm씩 오르고 반지름은 약 1 nm이어서, 펼친 길이는 한 바퀴에 약 7 nm이다. 사람 세포 하나의 DNA를 모두 펼치면 2 m 가까이 된다.