공간에서의 속도와 가속도

반지름 2 m인 나선 계단을 한 사람이 일정한 빠르기로 오른다. 위치는 \(\vec r(t) = (2\cos t, 2\sin t, t)\)(m, 초)이다. 빠르기가 일정하니 가속도는 0이라고 생각하기 쉽다. 그런데 그 사람은 계속 방향을 바꾸며 돌고 있다. 속도와 가속도를 벡터로 계산하면 가속도는 어느 쪽을 향하고, 크기는 얼마일까? 위로 오르는 성분은 가속도에 들어 있을까?

2.4.1성분마다 미분하다

공간에서 움직이는 점의 위치가 \(\vec r(t) = (x(t), y(t), z(t))\)이면, 속도는 각 성분을 시간으로 미분한 \(\vec v(t) = (x'(t), y'(t), z'(t))\)이고, 가속도는 속도를 다시 미분한 \(\vec a(t) = \vec r''(t)\)이다. 속도 벡터는 곡선의 접선 방향을 향하고, 그 크기가 빠르기이다. 가속도는 빠르기가 바뀔 때뿐 아니라 방향이 바뀔 때에도 생긴다. 그래서 일정한 빠르기로 원을 돌아도 가속도가 있다.

나선 계단을 오르는 사람의 속도는 \((-2\sin t, 2\cos t, 1)\)이고 빠르기는 \(\sqrt{4\sin^2t + 4\cos^2t + 1} = \sqrt5\)로 일정하다. 가속도는 \((-2\cos t, -2\sin t, 0)\)으로, 위치의 수평 성분 \((2\cos t, 2\sin t)\)의 정반대이다. 그래서 가속도는 늘 수평으로 나선의 축을 향하고 크기는 2이다. 위로 오르는 성분 \(z = t\)는 일정하게 늘어나 두 번 미분하면 0이므로 가속도에 들어 있지 않다. 속도와 가속도의 내적은 \(4\sin t\cos t - 4\sin t\cos t + 0 = 0\)으로 서로 수직이다.¹

2.4.28자로 나는 드론

일정한 높이에서 8자를 그리며 나는 드론의 위치를 \(\vec r(t) = (A\sin\omega t, B\sin2\omega t, h)\)로 쓰면, 가속도는 \((-A\omega^2\sin\omega t, -4B\omega^2\sin2\omega t, 0)\)이다. 가속도의 크기는 위치와 \(\omega^2\)에 비례하므로, 같은 8자를 두 배 빨리 돌면 필요한 가속도가 네 배가 된다. 드론이 낼 수 있는 가속도에는 한계가 있어서, 8자의 크기를 정하면 돌 수 있는 가장 빠른 빠르기도 정해진다. 그래서 운동을 설계할 때 속도뿐 아니라 가속도를 함께 계산한다.

2.4.3예제 풀이

\(t = \pi/2\)에서 위치는 \((0, 2, \pi/2)\), 속도는 \((-2, 0, 1)\), 가속도는 \((0, -2, 0)\)이다. 위치의 수평 성분은 \((0, 2)\)이고 가속도의 수평 성분은 \((0, -2)\)여서, 가속도는 그 지점에서 축 \((0, 0)\)을 향한다. 속도와 가속도의 내적은 \(0\)으로 수직이다.

두 배 빠르기로 오르면 위치는 \((2\cos2t, 2\sin2t, 2t)\)이고, 가속도는 \((-8\cos2t, -8\sin2t, 0)\)으로 크기가 8이다. 빠르기는 \(2\sqrt5\)로 두 배이지만 가속도는 네 배이다. 이 가속도는 원운동의 구심 가속도 \(v_{\text{수평}}^2/R = 4^2/2 = 8\)과 같다. 즉 공간 운동의 속도와 가속도는 위치를 성분마다 미분해 구하며, 빠르기가 일정해도 방향이 바뀌면 속도에 수직인 가속도가 생기고, 그 크기는 빠르기의 제곱에 비례한다.

아래 탐구 카드에서 나선을 따라 움직이는 점의 가속도가 어느 쪽을 향하는지 확인하고, 8자 비행하는 드론이 얼마나 빨리 돌 수 있는지 계산해 보자.

1. 놀이공원의 나선형 롤러코스터도 같은 원리로 설계한다. 사람이 견딜 수 있는 가속도는 중력 가속도의 4~5배쯤이어서, 나선의 반지름과 열차의 빠르기를 정할 때 \(v^2/R\)이 이 한계를 넘지 않게 맞춘다.