정칙곡선과 곡선의 길이
본문곡선 \(\vec r(t) = (t^2, t^3)\)의 두 성분은 다항식이어서 어디서나 몇 번이든 미분할 수 있다. 그런데 이 곡선을 그려 보면 원점에서 새의 부리처럼 뾰족하게 꺾인다. 매끄러운 함수로 만든 곡선에 어떻게 뾰족한 점이 생길까? 또 이 곡선의 \(t = 0\)부터 \(t = 2\)까지의 길이는 \(y = x^{3/2}\)의 \(x = 0\)부터 4까지의 길이와 같은데, 곡선의 길이는 매개변수를 어떻게 잡아도 같을까?
2.5.1속도가 0이 되면
점이 곡선을 따라 움직이는 동안 속도 \(\vec r'(t)\)가 한 번도 영벡터가 되지 않으면, 매 순간 접선 방향이 하나로 정해지고 곡선은 꺾이지 않는다. 이런 곡선을 정칙곡선이라 한다. 반면 속도가 0이 되는 순간에는 점이 잠시 멈추고, 그 뒤에 아무 방향으로나 다시 움직일 수 있어 뾰족한 점이 생길 수 있다. \((t^2, t^3)\)은 \(\vec r'(t) = (2t, 3t^2)\)이어서 \(t = 0\)에서 속도가 0이다. \(t < 0\)에서는 왼쪽 아래에서 원점으로 다가오고, \(t > 0\)에서는 원점에서 오른쪽 위로 떠나는데, 두 방향이 모두 \(x\)축 쪽으로 접근해 부리 모양이 된다.
모든 \(t\)에서 \(\vec r'(t) \ne \vec 0\)인 곡선을 정칙곡선이라 한다. 곡선 \(\vec r(t)\), \(a \le t \le b\)의 길이는 \[L = \int_a^b |\vec r'(t)|\,dt\]이며, 같은 곡선을 같은 방향으로 한 번 지나는 다른 매개변수로 나타내도 길이는 같다.
곡선의 길이는 곡선을 잘게 나눈 꺾은선의 길이의 극한이다. 짧은 시간 \(\Delta t\) 동안 점이 움직이는 거리는 빠르기 \(|\vec r'(t)|\)에 \(\Delta t\)를 곱한 것과 거의 같으므로, 이를 모두 더하면 적분이 된다. 매개변수를 \(t = \varphi(u)\)로 바꾸면 빠르기는 \(\varphi'(u)\)배가 되지만 \(dt = \varphi'(u)\,du\)이어서 적분값은 바뀌지 않는다. 그래서 곡선의 길이는 점이 얼마나 빨리 지나가는지와 상관없이 곡선 자체가 정한다.1
2.5.2정칙이 아니어도 길이는 잴 수 있다
뾰족한 점이 있어도 그 점을 사이에 둔 두 부분의 길이를 각각 구해 더하면 전체 길이를 잴 수 있다. 다만 뾰족한 점에서는 접선이 하나로 정해지지 않으므로, 접선이나 곡률처럼 방향에 관한 양은 그 점에서 다루지 않는다. 같은 곡선도 매개변수를 잘못 잡으면 정칙이 아니게 될 수 있다. 예를 들어 직선 \(y = x\)를 \((t^3, t^3)\)으로 나타내면 \(t = 0\)에서 속도가 0이지만 곡선 자체는 뾰족하지 않다. 그래서 정칙성은 곡선의 모양보다 매개변수를 잡는 방법의 성질이다.
2.5.3예제 풀이
곡선 \(\vec r(t) = (t^2, t^3)\)의 \(0 \le t \le 2\)인 부분의 길이를 구하고, 이 곡선이 \(y = x^{3/2}\)의 \(0 \le x \le 4\)인 부분과 같은 곡선임을 확인하여 두 방법의 길이가 같음을 보여라.
\(|\vec r'(t)| = \sqrt{4t^2 + 9t^4} = t\sqrt{4 + 9t^2}\)(\(t \ge 0\))이다. \(u = 4 + 9t^2\)으로 치환하면 \(du = 18t\,dt\)이므로 \(L = \int_0^2 t\sqrt{4 + 9t^2}\,dt = \dfrac{1}{18}\int_4^{40}\sqrt u\,du = \dfrac{1}{27}\left(40^{3/2} - 8\right) \approx \dfrac{252.98 - 8}{27} \approx 9.073\)이다.
\(x = t^2\), \(y = t^3\)에서 \(t \ge 0\)이면 \(t = \sqrt x\)이므로 \(y = x^{3/2}\)이고, \(t\)가 0에서 2로 가는 동안 \(x\)는 0에서 4로 간다. 이 곡선의 길이는 \(\int_0^4\sqrt{1 + \tfrac94x}\,dx = \dfrac{8}{27}\left[\left(1 + \tfrac94x\right)^{3/2}\right]_0^4 = \dfrac{8}{27}(10^{3/2} - 1) \approx 9.073\)으로 같다. 실제로 \(\tfrac{8}{27}\cdot10\sqrt{10} = \tfrac{1}{27}\cdot80\sqrt{10} = \tfrac{1}{27}40^{3/2}\)이다. 즉 속도가 영벡터가 되는 곳에서는 매끄러운 식으로도 뾰족한 점이 생길 수 있고, 곡선의 길이는 빠르기를 적분해 구하며 매개변수를 바꾸어도 같다.
아래 탐구 카드에서 매끄러운 매개변수 식이 뾰족한 곡선을 그리는 순간을 찾아보고, 휘어진 곡선의 길이를 꺾은선과 적분으로 재어 비교해 보자.
- 로봇 팔이나 공작 기계의 경로를 설계할 때는 정칙곡선을 쓴다. 속도가 0이 되는 곳에서는 기계가 갑자기 멈추었다가 방향을 바꾸어야 해서 큰 힘이 들고 가공면에 자국이 남기 때문이다.
속도 \(\vec r'(t)\)가 한 번도 영벡터가 되지 않는 곡선을 정칙곡선이라 하며, 속도가 0이 되는 순간에는 매끄러운 식으로도 뾰족한 점이 생길 수 있다. 곡선의 길이는 빠르기를 적분한 \(\int|\vec r'(t)|\,dt\)이고, 같은 곡선을 다른 매개변수로 나타내도 바뀌지 않는다. 처음 질문의 \((t^2, t^3)\)은 \(t = 0\)에서 속도가 0이어서 뾰족하고, \(0 \le t \le 2\)의 길이는 \(y = x^{3/2}\)로 구한 것과 같은 약 9.07이다.