단위속력곡선과 호의 길이 매개변수

산을 감아 오르는 길을 \(\vec r(t) = (2\cos t, 2\sin t, t)\)(km)로 나타냈다. 출발점부터 1 km마다 표지판을 세우려는데, \(t = 1, 2, 3, \ldots\)인 곳에 세우면 표지판 사이의 실제 거리가 1 km가 아니다. 또 다른 길은 \((\cos t^2, \sin t^2)\)로 나타냈는데, 같은 원을 그리는데도 \(t\)가 커질수록 점이 점점 빨리 움직여 같은 \(t\) 간격에 지나는 거리가 늘어난다. 거리를 매개변수로 삼으면 이런 문제가 없을까? 표지판은 어느 \(t\)에 세워야 할까?

2.6.1지나온 거리를 재는 함수

정칙곡선 \(\vec r(t)\)에서 출발점 \(t = a\)부터 \(t\)까지 지나온 거리를 \(s(t) = \int_a^t|\vec r'(u)|\,du\)라 하자. 이것을 호의 길이 함수라 한다. 미적분의 기본정리로 \(s'(t) = |\vec r'(t)|\)이고, 정칙곡선에서는 이 값이 늘 양수이므로 \(s(t)\)는 증가함수이다. 그래서 거리 \(s\)를 정하면 그 거리에 이르는 \(t\)가 하나로 정해진다. 표지판을 세울 곳은 \(s(t) = 1, 2, 3, \ldots\)이 되는 \(t\)를 찾으면 된다.

같은 곡선도 매개변수를 어떻게 잡느냐에 따라 빠르기가 달라진다. \((\cos t, \sin t)\)는 빠르기가 1인 단위속력곡선이어서 \(t\)가 곧 호의 길이이다. 그러나 \((\cos t^2, \sin t^2)\)는 빠르기가 \(2t\)로 점점 빨라져, 같은 원인데도 \(t\)의 간격과 거리가 맞지 않는다. 호의 길이를 매개변수로 쓰면 이런 차이가 사라져, 곡선의 모양만으로 정해지는 성질을 다루기 좋다. 곡률 같은 양이 호의 길이 매개변수로 정의되는 것도 이 때문이다.¹

2.6.2빠르기가 바뀌는 곡선

\((\cos t^2, \sin t^2)\)의 호의 길이 함수는 \(s(t) = \int_0^t 2u\,du = t^2\)이다. 그래서 거리 \(s\)에 이르는 \(t\)는 \(\sqrt s\)이고, 1, 2, 3만큼 간 곳은 \(t = 1, \sqrt2, \sqrt3\)이다. \(t\)의 간격이 점점 좁아지는데, 점이 점점 빨라져 짧은 시간에 같은 거리를 가기 때문이다. 이렇게 빠르기가 일정하지 않은 곡선도 호의 길이 함수를 구해 거꾸로 풀면 일정한 거리마다의 위치를 찾을 수 있다.

2.6.3예제 풀이

\(\vec r'(t) = (-2\sin t, 2\cos t, 1)\)이므로 빠르기는 \(\sqrt{4 + 1} = \sqrt5\)이고, \(s(t) = \int_0^t\sqrt5\,du = \sqrt5\,t\)이다. 그래서 거리 \(s\)에 이르는 매개변수는 \(t = s/\sqrt5\)이다.

1 km 표지판은 \(t = 1/\sqrt5 \approx 0.447\)이므로 위치는 \((2\cos0.447, 2\sin0.447, 0.447) \approx (1.80, 0.86, 0.45)\)이다. 5 km 표지판은 \(t = 5/\sqrt5 = \sqrt5 \approx 2.236\)이므로 \((2\cos2.236, 2\sin2.236, 2.236) \approx (-1.24, 1.57, 2.24)\)이다. 확인하면 출발점에서 1 km 표지판까지 높이는 0.45 km 올랐고, 수평으로는 반지름 2인 원의 호를 \(2\times0.447 \approx 0.89\) km 갔으므로 \(\sqrt{0.89^2 + 0.45^2} \approx 1\) km이다. 즉 호의 길이 함수는 빠르기를 적분해 지나온 거리를 주고, 그 역함수로 매개변수를 거리로 바꾸면 곡선을 같은 거리 간격으로 나눌 수 있다.

아래 탐구 카드에서 같은 원을 그리는데 점마다 빠르기가 다른 까닭을 확인하고, 구불구불한 산길에 1 km마다 표지판을 세워 보자.

1. 고속도로의 이정표도 도로를 따라 잰 거리, 곧 호의 길이로 세운다. 그래서 굽은 구간에서는 이정표 사이의 직선 거리가 이정표에 적힌 거리보다 짧다.