단위속력곡선으로 재매개화

나선 \(\vec r(t) = (\cos t, \sin t, t)\) 위를 움직이는 점은 빠르기가 \(\sqrt2\)이다. 이 점이 같은 나선을 따라가되 빠르기가 정확히 1이 되도록 식을 바꾸려 한다. 한 학생은 \(t\) 대신 \(\sqrt2\,s\)를 넣어 \((\cos\sqrt2 s, \sin\sqrt2 s, \sqrt2 s)\)로 썼는데, 미분해 보니 빠르기가 2가 되었다. 어디서 잘못되었을까? 곡선의 모양은 그대로 두고 빠르기만 1로 바꾸는 바른 방법은 무엇일까?

2.7.1세 단계의 재매개화

같은 곡선을 다른 매개변수로 다시 나타내는 것을 재매개화라 한다. 예를 들어 정칙곡선을 단위속력곡선으로 재매개화하는 순서는 세 단계이다. 먼저 빠르기 \(|\vec r'(t)|\)를 구하고 적분해 호의 길이 함수 \(s(t)\)를 얻는다. 다음으로 \(s = s(t)\)를 \(t\)에 대해 풀어 \(t = t(s)\)를 구한다. 마지막으로 원래 식에 \(t = t(s)\)를 대입해 \(\vec r(t(s))\)를 쓴다. 이렇게 얻은 곡선은 모양과 방향이 원래와 같고, 빠르기만 1이 된다.

또 합성함수의 미분법으로 새 빠르기는 원래 빠르기에 \(dt/ds\)를 곱한 것이다. 원래 빠르기가 \(\sqrt2\)이면 새 빠르기를 1로 만들려면 \(dt/ds = 1/\sqrt2\)이어야 하고, 그러려면 \(t = s/\sqrt2\)이다. 처음 질문의 학생은 \(s = \sqrt2\,t\)라는 관계에서 \(t\)를 \(s\)로 나타내지 않고 거꾸로 \(t = \sqrt2\,s\)를 넣어, 빠르기에 \(\sqrt2\)를 한 번 더 곱해 2를 만들었다. 시간을 늘리는 대신 줄인 셈이다.¹

2.7.2빠르기가 바뀌는 곡선의 재매개화

한편 빠르기가 일정하지 않은 곡선도 같은 방법으로 재매개화한다. 원 \((\cos t^2, \sin t^2)\)(\(t \ge 0\))는 빠르기가 \(2t\)이고 \(s(t) = t^2\)이므로 \(t = \sqrt s\)이다. 대입하면 \((\cos s, \sin s)\)로, 익숙한 단위원의 단위속력 매개변수가 된다. 그런데 호의 길이 함수의 적분이나 역함수를 식으로 구할 수 없는 곡선도 많다. 그런 곡선은 수치 계산으로 \(s\)와 \(t\)의 표를 만들어 재매개화한다.

2.7.3예제 풀이

\(\vec r'(t) = (-3\sin t, 3\cos t, 4)\)이므로 빠르기는 \(\sqrt{9 + 16} = 5\)이고 \(s = 5t\), 곧 \(t = s/5\)이다. 대입하면 \(\tilde r(s) = \left(3\cos\dfrac s5, 3\sin\dfrac s5, \dfrac{4s}{5}\right)\)이다. 미분하면 \(\tilde r'(s) = \left(-\tfrac35\sin\tfrac s5, \tfrac35\cos\tfrac s5, \tfrac45\right)\)이고 크기는 \(\sqrt{\tfrac{9}{25} + \tfrac{16}{25}} = 1\)이다.

따라서 호의 길이 \(10\pi\)인 곳은 \(s = 10\pi\)이므로 \(\tilde r(10\pi) = (3\cos2\pi, 3\sin2\pi, 8\pi) = (3, 0, 8\pi)\)이다. 나선을 정확히 한 바퀴 돌아 \(8\pi \approx 25.1\)만큼 올라간 곳이다. 한 바퀴의 길이는 \(\sqrt{(6\pi)^2 + (8\pi)^2} = 10\pi\)로 맞는다. 즉 단위속력곡선으로 재매개화하려면 빠르기를 적분한 호의 길이 함수를 원래 매개변수에 대해 거꾸로 풀어 대입하며, 관계식의 방향을 바꾸어 넣으면 빠르기가 1이 아니게 된다.

아래 탐구 카드에서 나선 위를 속력 1로 움직이도록 매개변수를 바꾸어 보고, 재매개화 풀이의 틀린 곳을 찾아보자.

1. 애니메이션에서 물체를 곡선 경로를 따라 일정한 빠르기로 움직이게 할 때도 이 재매개화를 쓴다. 베지에 곡선처럼 매개변수와 거리가 비례하지 않는 곡선을 그대로 쓰면, 물체가 굽은 곳에서 갑자기 빨라지거나 느려져 보이기 때문이다.