곡률과 곡률반경

곧은 고속도로가 반지름 500 m인 원 모양의 굽은 길로 바로 이어진다고 해 보자. 운전자는 직선에서 원으로 들어서는 순간 핸들을 갑자기 돌려야 하고, 승객은 몸이 옆으로 갑자기 쏠린다. 그래서 실제 도로는 직선과 원 사이에 휘는 정도가 조금씩 커지는 곡선을 끼워 넣는다. 곡선이 얼마나 휘었는지를 수 하나로 나타낼 수 있을까? 직선은 휘는 정도가 0, 반지름 500 m인 원은 \(1/500\)이라고 하는데, 일반적인 곡선에서는 어떻게 구할까?

2.8.1방향이 바뀌는 빠르기

곡선이 휘었다는 것은 곡선을 따라갈 때 접선의 방향이 바뀐다는 뜻이다. 그래서 휘는 정도는 단위 접선벡터 \(\vec T\)가 거리 1을 갈 때마다 얼마나 바뀌는지로 잰다. 시간이 아니라 거리를 기준으로 하므로, 빨리 지나가든 천천히 지나가든 같은 곡선이면 같은 값이 나온다. 단위속력곡선 \(\vec r(s)\)에서는 \(\vec T = \vec r'(s)\)이므로 곡률은 \(\kappa = |\vec r''(s)|\)이다. 반지름 \(R\)인 원은 거리 \(2\pi R\)을 가는 동안 접선이 한 바퀴 \(2\pi\) 돌므로 곡률이 \(1/R\)이다.

일반 매개변수로 나타낸 곡선에서 가속도에는 빠르기가 바뀌는 부분과 방향이 바뀌는 부분이 섞여 있다. 속도와 가속도의 외적을 취하면 속도와 나란한 부분, 곧 빠르기가 바뀌는 부분이 지워지고 방향이 바뀌는 부분만 남는다. 여기에 빠르기의 세제곱으로 나누면 거리 기준의 휘는 정도가 된다. 곡률반경 \(\rho\)는 그 점에서 곡선과 접선과 휘는 정도가 모두 같은 원, 곧 접촉원의 반지름이다.¹

2.8.2휘는 정도가 이어져야 한다

차가 곡률 \(\kappa\)인 길을 빠르기 \(v\)로 달리면 옆으로 \(v^2\kappa\)의 가속도를 받는다. 직선에서 원으로 바로 이으면 곡률이 0에서 \(1/R\)로 갑자기 뛰어 옆 가속도도 갑자기 생긴다. 그래서 도로는 곡률이 거리에 비례해 0부터 \(1/R\)까지 고르게 커지는 클로소이드라는 곡선을 사이에 넣는다. 그러면 운전자는 일정한 빠르기로 핸들을 천천히 돌리기만 하면 되고, 옆 가속도도 서서히 커진다. 철도와 롤러코스터도 같은 이유로 클로소이드를 쓴다.

2.8.3예제 풀이

\(f' = 2x\), \(f'' = 2\)이므로 \(\kappa = \dfrac{2}{(1 + 4x^2)^{3/2}}\)이다. \(x = 0\)에서 \(\kappa = 2\), 곡률반경 0.5이고, \(x = 1\)에서 \(\kappa = 2/5^{3/2} \approx 0.179\), 곡률반경 약 5.59이다. 포물선은 꼭짓점에서 가장 많이 휘고 멀어질수록 펴진다.

굽은 길의 곡률은 \(1/500\)이므로 옆 가속도는 \(v^2\kappa = 30^2/500 = 1.8\) m/s²로, 중력 가속도의 약 18%이다. 직선에서 바로 원으로 이어지면 이 가속도가 한순간에 생기지만, 클로소이드를 넣으면 몇 초에 걸쳐 0에서 1.8까지 서서히 커진다. 즉 곡률은 단위 접선벡터가 거리에 따라 바뀌는 빠르기로 곡선이 휘는 정도를 나타내며, \(|\vec r'\times\vec r''|/|\vec r'|^3\)으로 구하고, 그 역수인 곡률반경은 그 점에 가장 잘 맞는 원의 반지름이다.

아래 탐구 카드에서 곡선에 가장 잘 맞는 원을 그려 휘는 정도를 재 보고, 고속도로의 굽은 길이 원을 바로 잇지 않는 까닭을 곡률로 확인해 보자.

1. 곡률반경이라는 생각은 17세기 하위헌스가 진자시계를 연구하며 처음 썼고, 뉴턴이 곡률을 계산하는 공식을 정리했다. 클로소이드는 19세기 철도 기술자들이 열차의 탈선을 막으려고 널리 쓰기 시작했다.