여러 가지 곡선의 접선
본문원점에서 곡선 \(y = \ln x\)를 향해 직선을 그어 곡선에 살짝 닿게 하려 한다. 직선을 너무 가파르게 그으면 곡선을 두 번 자르고, 너무 완만하면 곡선에 닿지 않는다. 딱 한 점에서 닿는 직선은 곡선의 어디를 지날까? 접점을 모를 때는 접선을 어떻게 구할까?
2.8.1접선의 방정식
곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \((t, f(t))\)에서 접선의 기울기는 \(f'(t)\)이므로 접선의 방정식은 \[y - f(t) = f'(t)(x - t)\] 이다. 미적분Ⅰ에서 다항함수에 쓰던 이 식을 지수함수, 로그함수, 삼각함수, 음함수, 매개변수 함수에도 그대로 쓴다. 기울기를 구하는 방법만 함수에 따라 달라진다.
2.8.2접점을 모를 때
접선이 곡선 밖의 점 \((a, b)\)를 지나거나 기울기가 \(m\)으로 정해져 있을 때는 접점을 모른다. 이때는 접점을 \((t, f(t))\)로 놓고 접선의 방정식을 세운 뒤, 주어진 조건을 대입하여 \(t\)를 구한다.
접점을 \((t, f(t))\)로 놓고 접선 \(y - f(t) = f'(t)(x - t)\)를 쓴다. 지나는 점 \((a, b)\)가 주어지면 \(b - f(t) = f'(t)(a - t)\)를, 기울기 \(m\)이 주어지면 \(f'(t) = m\)을 풀어 \(t\)를 구한다.
그림 1에서 접점 \(t\)를 움직여 보자. \(y = \ln x\) 위의 점 \((t, \ln t)\)에서의 접선은 \(y = \dfrac{x}{t} + \ln t - 1\)이고 \(y\)절편은 \(\ln t - 1\)이다. 이 값이 0, 곧 접선이 원점을 지나는 것은 \(t = e\)일 때뿐이다. 그래서 원점에서 \(y = \ln x\)에 그을 수 있는 접선은 하나이다.1
2.8.3예제 풀이
점 \((0, 0)\)에서 곡선 \(y = e^x\)에 그은 접선의 방정식을 구하여라. 또 곡선 \(y = e^x\)에 접하고 기울기가 \(e^2\)인 접선의 방정식을 구하여라.
접점을 \((t, e^t)\)라 하면 접선은 \(y - e^t = e^t(x - t)\)이다. 원점을 지나므로 \(0 - e^t = e^t(0 - t)\), 곧 \(-e^t = -te^t\)이고 \(e^t > 0\)이므로 \(t = 1\)이다. 접선은 \(y - e = e(x - 1)\), 곧 \(y = ex\)이다.
기울기가 \(e^2\)이려면 \(e^t = e^2\), 곧 \(t = 2\)이다. 접점은 \((2, e^2)\)이고 접선은 \(y - e^2 = e^2(x - 2)\), 곧 \(y = e^2x - e^2\)이다. 두 경우 모두 미지의 접점을 문자로 놓은 뒤 조건으로 방정식을 세웠다.
\(y = e^x\)와 \(y = \ln x\)는 역함수이므로, 원점에서 그은 두 접선 \(y = ex\)와 \(y = \dfrac{x}{e}\)는 직선 \(y = x\)에 대해 대칭이다. 아래 탐구 카드에서 곡선 밖의 점에서 그은 접선과, 기울기가 정해진 접선을 직접 찾아보자.
- 점 \((a, 0)\)에서 \(y = \ln x\)에 접선을 그을 때 \(a > 0\)이면 접점 방정식 \(\ln t - 1 + \frac{a}{t} = 0\)의 근이 0개, 1개, 2개인 경우가 생긴다. 점의 위치에 따라 접선의 개수가 달라진다.
여러 가지 곡선의 접선도 \(y - f(t) = f'(t)(x - t)\)로 구하며, 접점을 모를 때는 접점을 \((t, f(t))\)로 놓고 지나는 점이나 기울기 조건을 대입하여 \(t\)를 구한다. 그래서 처음 질문의 원점에서 \(y = \ln x\)에 그은 접선은 \(y\)절편 \(\ln t - 1 = 0\)인 \(t = e\), 곧 점 \((e, 1)\)에서 곡선에 닿는다.