방정식과 부등식
본문방정식 \(e^x = 3x\)는 근의 공식이 없어 정확한 근을 식으로 구할 수 없다. 그래도 근이 몇 개인지, 대략 어디쯤 있는지는 알고 싶다. 또 \(e^x \ge kx\)가 모든 실수 \(x\)에서 성립하도록 \(k\)를 최대한 크게 잡으면 얼마일까? 미분이 이런 물음에 어떻게 답할까?
2.10.1방정식의 실근의 개수
방정식 \(f(x) = g(x)\)의 실근은 두 그래프 \(y = f(x)\), \(y = g(x)\)의 교점의 \(x\)좌표이다. 따라서 근을 직접 구하지 않아도 두 그래프를 그려 교점을 세면 실근의 개수를 알 수 있다. 문자 \(k\)가 들어 있으면 \(k\)만 따로 떼어 \(h(x) = k\) 꼴로 바꾸고, \(y = h(x)\)와 수평선 \(y = k\)의 교점을 세는 것이 편하다.
방정식을 \(h(x) = k\) 꼴로 정리한다. \(h'(x)\)로 \(y = h(x)\)의 증감과 극값, 끝의 극한을 조사하여 그래프를 그린다. 수평선 \(y = k\)를 위아래로 움직이며 교점의 개수를 센다.
그림 1에서 \(k\)를 바꾸어 보자. \(k < 0\)이면 교점이 하나, \(0 \le k < e\)이면 직선이 곡선 아래를 지나 교점이 없고, \(k = e\)이면 한 점에서 접하며, \(k > e\)이면 두 점에서 만난다. 처음 질문의 \(e^x = 3x\)는 \(3 > e\)이므로 실근이 2개이다.1
2.10.2부등식의 증명
어떤 범위의 모든 \(x\)에서 \(f(x) \ge g(x)\)를 보이려면 \(h(x) = f(x) - g(x)\)로 놓고, 그 범위에서 \(h(x)\)의 최솟값이 0 이상임을 보인다. 최솟값은 \(h'(x)\)로 증감을 조사하여 구한다.
2.10.3예제 풀이
모든 실수 \(x\)에 대하여 \(e^x \ge x + 1\)임을 증명하여라. 또 \(x > 0\)일 때 \(e^x \ge kx\)가 항상 성립하도록 하는 \(k\)의 최댓값을 구하여라.
\(h(x) = e^x - x - 1\)이라 하면 \(h'(x) = e^x - 1\)이다. \(x < 0\)에서 \(h' < 0\), \(x > 0\)에서 \(h' > 0\)이므로 \(h(x)\)는 \(x = 0\)에서 최솟값 \(h(0) = 0\)을 갖는다. 따라서 모든 \(x\)에서 \(h(x) \ge 0\), 곧 \(e^x \ge x + 1\)이다. 등호는 \(x = 0\)일 때 성립하며, 직선 \(y = x + 1\)은 \(y = e^x\)의 \(x = 0\)에서의 접선이다.
\(x > 0\)이면 \(e^x \ge kx \iff \dfrac{e^x}{x} \ge k\)이다. \(p(x) = \dfrac{e^x}{x}\)의 도함수는 \(\dfrac{e^x(x - 1)}{x^2}\)이므로 \(x = 1\)에서 최솟값 \(p(1) = e\)를 갖는다. 모든 \(x > 0\)에서 \(p(x) \ge k\)이려면 \(k \le e\)이어야 하므로 \(k\)의 최댓값은 \(e\)이다.
아래 탐구 카드에서 풀 수 없는 방정식의 근의 개수와, 부등식이 항상 성립하는 조건을 직접 조사해 보자.
- 근의 대략적인 위치는 사잇값 정리로 좁힐 수 있다. \(h(x) = e^x - 3x\)에서 \(h(0) = 1 > 0\), \(h(1) = e - 3 < 0\), \(h(2) = e^2 - 6 > 0\)이므로 두 근은 각각 \((0, 1)\)과 \((1, 2)\)에 있다.
방정식의 실근의 개수는 두 그래프의 교점의 개수이며, 문자를 분리하여 \(y = h(x)\)와 수평선의 교점을 세면 편하다. 부등식은 차를 함수로 놓고 최솟값이 0 이상임을 보여 증명한다. 그래서 처음 질문의 \(e^x = 3x\)는 근을 구하지 못해도 실근이 2개임을 알 수 있고, \(e^x \ge kx\)가 \(x > 0\)에서 늘 성립하는 \(k\)의 최댓값은 \(e\)이다.