그래프의 개형
본문시험 점수나 키처럼 많은 자료를 모으면 가운데가 볼록 솟은 종 모양의 분포가 나타나는데, 그 곡선은 \(y = e^{-x^2}\) 꼴이다. 이 곡선은 꼭대기 근처에서는 위로 볼록하다가 어느 지점부터 아래로 볼록하게 바뀐다. 휘는 방향이 바뀌는 곳은 어디이며, 그것을 무엇으로 알아낼 수 있을까?
2.9.1이계도함수와 오목·볼록
\(f'(x)\)는 그래프의 기울기를 알려 준다. 그 기울기가 어떻게 변하는지를 알려 주는 것이 \(f'(x)\)의 도함수, 곧 이계도함수 \(f''(x)\)이다. 그림 1에서 접점을 왼쪽에서 오른쪽으로 옮기면, 꼭대기 근처에서는 접선의 기울기가 점점 작아지고 곡선은 접선 아래에 있다. 그런데 바깥쪽에서는 기울기가 점점 커지고 곡선은 접선 위에 있다.
어떤 구간에서 \(f''(x) > 0\)이면 곡선 \(y = f(x)\)는 그 구간에서 아래로 볼록하고, \(f''(x) < 0\)이면 위로 볼록하다. 곡선의 볼록한 방향이 바뀌는 점을 변곡점이라 하며, \(f''(a) = 0\)이고 \(x = a\)의 좌우에서 \(f''(x)\)의 부호가 바뀌면 점 \((a, f(a))\)는 변곡점이다.
\(f(x) = e^{-x^2}\)이면 \(f'(x) = -2xe^{-x^2}\), \(f''(x) = (4x^2 - 2)e^{-x^2}\)이다. \(e^{-x^2} > 0\)이므로 \(f''(x)\)의 부호는 \(4x^2 - 2\)의 부호와 같고, \(x = \pm\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)에서 바뀐다. 따라서 이 두 점이 변곡점이다.1
2.9.2그래프의 개형 그리기
점을 많이 찍지 않아도 함수의 성질을 모으면 그래프의 모양을 알 수 있다. 정의역과 대칭성, 좌표축과의 교점, \(f'(x)\)로 구한 증가·감소와 극값, \(f''(x)\)로 구한 오목·볼록과 변곡점, \(x \to \pm\infty\)일 때의 극한과 점근선을 차례로 조사한다.
2.9.3예제 풀이
함수 \(f(x) = xe^{-x}\)의 극값과 변곡점을 구하고 그래프의 개형을 설명하여라.
\(f'(x) = e^{-x} - xe^{-x} = (1 - x)e^{-x}\)이므로 \(x = 1\)에서 부호가 \(+\)에서 \(-\)로 바뀌어 극댓값 \(f(1) = \dfrac{1}{e}\)을 갖는다. \(f''(x) = -e^{-x} - (1 - x)e^{-x} = (x - 2)e^{-x}\)이므로 \(x = 2\)에서 부호가 바뀌고, 변곡점은 \(\left(2, \dfrac{2}{e^2}\right)\)이다.
\(x \to \infty\)이면 \(e^{-x}\)가 \(x\)보다 훨씬 빨리 0으로 가므로 \(f(x) \to 0\)이고, \(x\)축이 점근선이다. 반면 \(x \to -\infty\)이면 \(f(x) \to -\infty\)이다. 정리하면 그래프는 왼쪽 아래에서 올라와 원점을 지나고, \(x = 1\)에서 꼭대기 \(\dfrac{1}{e}\)를 찍은 뒤 내려가며, \(x = 2\)에서 아래로 볼록하게 바뀌어 \(x\)축에 다가간다.
아래 탐구 카드에서 곡선이 휘는 방향과 그래프의 개형을 직접 조사해 보자.
- 통계에서 정규분포 곡선의 변곡점은 평균에서 표준편차만큼 떨어진 곳에 있다. \(e^{-x^2}\)은 표준편차가 \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)인 정규분포와 모양이 같다.
이계도함수 \(f''(x)\)가 양이면 곡선은 아래로 볼록, 음이면 위로 볼록하며, 그 부호가 바뀌는 점이 변곡점이다. 증가·감소, 극값, 오목·볼록, 점근선을 모으면 점을 찍지 않고도 그래프의 개형을 그릴 수 있다. 그래서 처음 질문의 종 모양 곡선은 \(f''(x) = (4x^2 - 2)e^{-x^2}\)의 부호가 바뀌는 \(x = \pm\frac{1}{\sqrt{2}}\)에서 휘는 방향이 바뀐다.