속도와 가속도

용수철에 매달린 추는 위아래로 일정하게 흔들린다. 추가 가장 높이 올라간 순간에는 잠깐 멈추고, 가운데를 지날 때는 가장 빠르다. 그렇다면 가속도는 어디에서 가장 클까? 가장 빠른 가운데일까, 멈춘 끝일까? 또 일정한 빠르기로 원을 도는 물체에도 가속도가 있을까?

시각 \(t\)

2.11.1직선 위의 운동

수직선 위를 움직이는 점의 시각 \(t\)에서의 위치가 \(x = f(t)\)이면, 속도는 \(v = \dfrac{dx}{dt} = f'(t)\), 가속도는 \(a = \dfrac{dv}{dt} = f''(t)\)이다. 미적분Ⅰ에서 다항함수로 다루던 것을 이제 삼각함수와 지수함수로 나타낸 운동에도 쓴다.

추의 위치가 \(x = \cos t\)이면 \(v = -\sin t\), \(a = -\cos t\)이다. 그림 1에서 시각을 옮겨 보자. \(t = \dfrac{\pi}{2}\)처럼 \(x = 0\)인 가운데에서는 속도의 크기가 1로 가장 크고 가속도는 0이다. \(t = 0\)이나 \(t = \pi\)처럼 끝에서는 속도가 0이고 가속도의 크기가 1로 가장 크다. 가속도 \(a = -x\)는 언제나 가운데를 향한다.¹

2.11.2평면 위의 운동

평면 위를 움직이는 점의 위치가 \((x, y) = (f(t), g(t))\)이면 각 성분을 따로 미분한다.

반지름 \(r\)인 원을 \(x = r\cos\omega t\), \(y = r\sin\omega t\)로 도는 점의 속도는 \((-r\omega\sin\omega t, r\omega\cos\omega t)\)이고 속력은 \(r\omega\)로 일정하다. 그런데 가속도는 \((-r\omega^2\cos\omega t, -r\omega^2\sin\omega t) = -\omega^2(x, y)\)로, 크기 \(r\omega^2\)이고 늘 원의 중심을 향한다. 빠르기는 그대로여도 방향이 바뀌므로 가속도가 있다.

2.11.3예제 풀이

\(\dfrac{dx}{dt} = 1 - \cos t\), \(\dfrac{dy}{dt} = \sin t\)이다. \(t = \dfrac{\pi}{2}\)이면 속도는 \((1, 1)\)이고 속력은 \(\sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}\)이다.

\(\dfrac{d^2x}{dt^2} = \sin t\), \(\dfrac{d^2y}{dt^2} = \cos t\)이므로 \(t = \dfrac{\pi}{2}\)에서 가속도는 \((1, 0)\)이고 크기는 1이다. 사실 가속도의 크기는 \(\sqrt{\sin^2 t + \cos^2 t} = 1\)로 언제나 일정하다. 이 점은 반지름 1인 바퀴가 굴러갈 때 바퀴 테두리의 한 점이 그리는 사이클로이드 위를 움직인다.

아래 탐구 카드에서 흔들리는 물체와 원운동하는 점의 속도와 가속도를 직접 확인해 보자.

1. 가속도가 위치에 비례하고 방향이 반대인 운동, 곧 \(a = -\omega^2 x\)인 운동을 단진동이라 한다. 용수철 진자와 짧게 흔들리는 진자가 대표적인 예이다.