등가속도 직선 운동 측정

빗면을 내려가는 수레에 종이테이프를 달고, 1초에 50번 점을 찍는 기록 타이머에 통과시켰다. 테이프에는 처음에 촘촘하다가 점점 벌어지는 점들이 찍혔다. 점 5개마다 테이프를 잘라 차례로 나란히 붙이니 길이가 고르게 늘어나는 계단이 생겼다. 이 계단의 높이 차이는 무엇을 뜻할까? 그리고 계단 하나하나의 길이에서 수레의 가속도를 어떻게 구할까?

가속도 (m/s²)

2.1.1테이프 조각은 평균 속도이다

기록 타이머는 \(1/50\) s마다 점을 하나 찍으므로, 점 5개 사이의 시간은 \(5 \times 1/50 = 0.1\) s이다. 0.1 s마다 자른 테이프 조각의 길이는 그 0.1 s 동안 수레가 간 거리이고, 이것을 0.1 s로 나누면 그동안의 평균 속도가 된다. 시간이 모두 같으므로 조각의 길이는 평균 속도에 그대로 비례한다. 그래서 조각을 시간 순서대로 나란히 붙이면, 가로가 시간이고 세로가 속도인 그래프가 생긴다. 등가속도 운동에서는 0.1 s 동안의 평균 속도가 그 구간 가운데 시각의 순간 속도와 같다.

이웃한 두 구간의 평균 속도는 \(T\)만큼 떨어진 두 시각의 순간 속도이고, 그 차는 \(aT\)이다. 여기에 시간 \(T\)를 곱하면 거리의 차 \(aT^2\)이 된다. 그림 1에서 가속도를 바꾸어 보자. 1 m/s²이면 조각이 1 cm씩, 2 m/s²이면 2 cm씩 길어져 계단이 가팔라진다. 계단의 높이가 고르면 가속도가 일정한 것이고, 조각마다 같은 길이이면 등속 운동이다.

2.1.2계단에서 그래프로

조각들의 위쪽 가운데 점을 이으면 속도–시간 그래프의 직선이 된다. 이 직선의 기울기가 가속도이다. 이웃한 조각의 차를 하나씩 구해 평균을 내는 방법도 있지만, 차들을 모두 더하면 가운데 조각들이 지워지고 맨 처음과 맨 끝의 조각만 남는다. 그래서 가운데 측정값은 결과에 거의 기여하지 못한다. 모든 점을 고르게 쓰려면 각 조각의 평균 속도를 가운데 시각에 찍고 최소 제곱 직선의 기울기를 구한다.¹

2.1.3예제 풀이

평균 속도를 가운데 시각에 찍고 최소 제곱 직선을 맞추면 기울기는 \(1.02\) m/s²이고, 절편은 약 0.19 m/s로 기록을 시작할 때의 속도이다. 이웃한 차의 평균 \((7.5 - 2.4)/5 = 1.02\) cm로 구해도 \(a = 0.0102 / 0.1^2 = 1.02\) m/s²로 같지만, 그 값은 첫 조각과 마지막 조각만으로 정해진 것이다. 첫 조각이 0.2 cm만 잘못 잘렸어도 이 방법의 결과는 4% 달라진다.

마찰이 없으면 빗면 위의 가속도는 \(a = g \sin\theta\)이므로 \(\sin\theta = 1.02/9.8 = 0.104\), \(\theta \approx 6.0°\)이다. 실제 빗면이 7.0°라면 마찰이 없을 때의 가속도는 \(9.8 \sin 7.0° \approx 1.19\) m/s²이어야 한다. 측정값이 0.17 m/s²만큼 작으므로, 수레의 바퀴와 타이머가 테이프를 잡아끄는 마찰이 수레 무게의 약 1.7%에 해당하는 힘으로 운동을 늦춘 것이다. 계단이 고르다는 것은 이 마찰력도 거의 일정했다는 뜻이다.

아래 탐구 카드에서 기록 타이머의 테이프를 잘라 붙여 속도–시간 그래프를 만들고, 빗면의 기울기를 바꾸며 가속도를 재 보자.

1. 갈릴레이는 시계 대신 물통에서 흘러나온 물의 무게로 시간을 재며 빗면 위의 공을 굴렸다. 그는 같은 시간 동안 간 거리가 1, 3, 5, 7처럼 홀수의 비로 늘어난다는 것을 찾았는데, 이웃한 거리의 차가 일정하다는 위 정리와 같은 내용이다.