운동량과 충격량

같은 높이에서 떨어진 달걀이 콘크리트 바닥에서는 깨지고 방석 위에서는 깨지지 않는다. 두 경우 모두 달걀은 같은 속력에서 멈춘다. 그렇다면 무엇이 달라서 결과가 갈릴까? 자동차의 에어백도 같은 원리일까?

멈추는 데 걸린 시간(초)

3.4.1운동량

같은 속력으로 달려오는 자전거와 트럭을 멈추게 하는 일은 무게만큼 어려움이 다르다. 또 같은 공이라도 빠르게 날아오면 받기 어렵다. 이렇게 물체의 운동의 '세기'는 질량과 속도를 함께 따져야 하며, 둘을 곱한 양을 운동량이라 한다. 운동량은 \(p = mv\)이고 단위는 kg·m/s이며, 속도와 같은 방향을 가진다.

3.4.2충격량과 운동량의 변화

물체의 운동량을 바꾸려면 힘이 필요하다. 힘 \(F\)가 시간 \(\Delta t\) 동안 작용하면 가속도는 \(a = \dfrac{F}{m}\)이고, 속도는 \(\Delta v = a\Delta t\)만큼 변한다. 따라서 \(m\Delta v = F\Delta t\)이다. 다시 말해 물체가 받은 힘과 시간의 곱이 운동량의 변화와 같다. 이 힘과 시간의 곱 \(F\Delta t\)를 충격량이라 한다.

이제 처음 질문으로 돌아가자. 달걀이 같은 속력에서 멈추므로 운동량의 변화, 곧 받는 충격량은 콘크리트에서나 방석에서나 같다. 그런데 방석은 달걀을 천천히 멈추게 해서 시간 \(\Delta t\)를 늘린다. 충격량이 같으니 시간이 길어진 만큼 평균 힘 \(F\)가 작아지고, 달걀이 견딜 수 있는 힘보다 작아지면 깨지지 않는다. 그림 1의 슬라이더로 멈추는 시간을 늘려 보면, 넓이는 그대로인 채 그래프가 낮고 넓게 퍼진다.

3.4.3줄일 수 있는 것과 없는 것

여기서 주의할 점이 있다. 에어백은 충격량을 줄이지 못한다. 달리던 사람이 멈추려면 정해진 크기의 충격량을 반드시 받아야 하기 때문이다. 에어백이 줄이는 것은 그 충격량을 받는 동안의 평균 힘이다.¹ 충격량 자체를 줄이려면 처음 속력을 줄여야 하므로, 속도를 낮추는 것이 가장 확실한 안전 대책이다.

3.4.4예제 풀이

먼저 운동량의 변화를 구한다. 처음 운동량은 \(0.06 \times 5 = 0.3\) kg·m/s이고, 멈추면 0이 되므로 운동량의 변화의 크기는 0.3 kg·m/s이다. 따라서 어느 바닥에서나 충격량의 크기는 0.3 N·s이다.

콘크리트에서는 \(F = \dfrac{0.3}{0.002} = 150\) N이다. 방석에서는 \(F = \dfrac{0.3}{0.1} = 3\) N이다. 같은 충격량을 50배 긴 시간에 나누어 받으니 평균 힘이 50분의 1로 줄었다.

150 N은 약 15 kg짜리 물체의 무게에 해당하는 힘이어서 달걀 껍데기가 견디기 어렵고, 3 N은 300 g 정도의 무게라 견딜 수 있다. 충격량이 같아도 받는 방식이 결과를 가른 것이다. 아래 탐구 카드에서 바닥의 재질과 높이를 바꾸며 힘이 어떻게 달라지는지 직접 확인해 보자.

1. 충격량은 힘과 같은 방향을 가진다. 공이 벽에 튕겨 나오면 운동량의 방향이 바뀌므로, 같은 속력으로 멈출 때보다 운동량의 변화가 커져 벽에서 받는 충격량이 최대 두 배가 된다.