중력장 내의 운동

같은 높이에서 공 하나는 그냥 떨어뜨리고, 다른 공은 수평으로 세게 던졌다. 어느 공이 먼저 땅에 닿을까? 그리고 아주아주 세게 던지면 공은 땅에 닿지 않고 지구를 돌 수 있을까?

던지는 속력 \(v\) (m/s) =

3.3.1자유 낙하

공기 저항을 무시하면, 지구 표면 근처에서 떨어지는 물체는 모두 1초마다 속력이 9.8 m/s씩 빨라진다. 이 일정한 가속도를 중력 가속도 \(g\)라 한다. 무거운 물체는 중력을 더 크게 받지만 그만큼 움직이기도 어렵기 때문에, 질량과 상관없이 가속도는 같다.¹ 그래서 진공에서는 깃털과 쇠공이 함께 떨어진다.

정지 상태에서 떨어뜨린 물체의 \(t\)초 뒤 속력은 \(v = gt\)이고, 떨어진 거리는 \(h = \dfrac{1}{2}gt^2\)이다. 거리가 시간의 제곱에 비례하므로, 같은 시간 간격 동안 떨어지는 거리는 1 : 3 : 5 : 7처럼 점점 커진다.

3.3.2수평으로 던진 물체

수평으로 던진 공은 두 방향의 운동을 동시에 한다. 수평 방향으로는 힘을 받지 않으므로 처음 속력 그대로 등속 운동을 한다. 연직 방향으로는 중력만 받으므로 그냥 떨어뜨린 공과 똑같이 자유 낙하한다. 두 운동은 서로 간섭하지 않는다.

그림 1의 슬라이더로 던지는 속력을 바꾸어 보자. 속력을 키우면 공이 더 멀리 가지만, 같은 시각의 두 공 높이는 언제나 같다. 따라서 처음 질문의 답은 '동시에 닿는다'이다. 던지는 세기는 수평 거리만 바꾸고, 떨어지는 시간은 높이만으로 정해진다.

3.3.3달도 떨어지고 있다

던지는 속력을 계속 키우면 어떻게 될까? 지구는 둥글어서, 공이 멀리 갈수록 땅도 아래로 휘어진다. 공이 떨어지는 만큼 땅이 휘어 내려가면 공은 땅에 닿지 않고 지구를 돈다. 지표 근처에서 이 속력은 약 7.9 km/s이고, 국제우주정거장은 이 속력으로 지구 둘레를 약 90분에 한 바퀴 돈다.

뉴턴은 그림 2처럼 생각을 넓혀, 달도 지구를 향해 끊임없이 떨어지면서 옆으로 움직이고 있기 때문에 돈다고 보았다. 사과를 떨어뜨리는 힘과 달을 붙잡아 두는 힘이 같은 중력이라는 것이다. 다만 중력은 거리의 제곱에 반비례해 약해지므로, 지구 반지름의 약 60배 떨어진 달에서는 지표의 약 \(\tfrac{1}{3600}\)이 된다.

3.3.4예제 풀이

떨어지는 시간은 연직 방향만 보면 된다. \(19.6 = \dfrac{1}{2} \times 9.8 \times t^2\)에서 \(t^2 = 4\)이므로 \(t = 2\)초이다. 이것은 그냥 떨어뜨렸을 때와 같은 시간이다.

수평 방향으로는 2초 동안 10 m/s로 등속 운동하므로 수평 거리는 \(10 \times 2 = 20\) m이다. 땅에 닿을 때 연직 속력은 \(gt = 9.8 \times 2 = 19.6\) m/s이고, 수평 속력은 그대로 10 m/s이다.

던지는 속력을 20 m/s로 두 배 하면 수평 거리는 40 m로 두 배가 되지만, 떨어지는 시간은 여전히 2초이다. 두 방향을 나누어 생각하면 복잡해 보이는 포물선 운동도 간단한 두 운동의 합이 된다. 아래 탐구 카드에서 질량, 던지는 속력, 행성의 중력을 바꾸어 가며 직접 확인해 보자.

1. 질량 \(m\)인 물체가 받는 중력은 \(mg\)이고, \(F = ma\)에 넣으면 \(mg = ma\)이므로 \(a = g\)이다. 질량이 양변에서 지워지는 것이 모든 물체가 같은 가속도로 떨어지는 까닭이다.