포물선 운동과 역학적 에너지
본문공을 너무 낮게 던지면 금방 땅에 떨어지고, 너무 높이 던지면 높이 올라갔다가 가까이 떨어진다. 그 사이 어딘가에 가장 멀리 날아가는 각도가 있을 것이다. 공기 저항이 없다면 그 각도는 정확히 몇 도일까? 그리고 공이 날아가는 동안 속력은 어떻게 변할까?
1.2.1운동을 두 방향으로 나누기
공에는 아래 방향의 중력만 작용한다. 그래서 수평 방향으로는 힘이 없어 처음 속도 \(v\cos\theta\)로 등속도 운동을 하고, 연직 방향으로는 처음 속도 \(v\sin\theta\)로 올라가며 가속도 \(g\)로 감속하는 등가속도 운동을 한다. 두 운동은 서로 영향을 주지 않으므로 따로 계산한 뒤 합친다.
\[x = v\cos\theta \cdot t,\qquad y = v\sin\theta \cdot t - \frac{1}{2}gt^2\] 같은 높이로 돌아올 때까지의 시간은 \(T = \dfrac{2v\sin\theta}{g}\), 수평 도달 거리는 \(R = \dfrac{v^2\sin 2\theta}{g}\), 최고 높이는 \(H = \dfrac{v^2\sin^2\theta}{2g}\)이다.
\(\sin 2\theta\)는 \(2\theta = 90°\), 곧 \(\theta = 45°\)일 때 최댓값 1이다. 그래서 45°로 던질 때 가장 멀리 간다. 또 \(\sin 2\theta = \sin(180° - 2\theta)\)이므로 \(\theta\)와 \(90° - \theta\)는 도달 거리가 같다. 그림 1에서 30°와 60°를 번갈아 골라 보면 같은 지점에 떨어지지만, 60°가 훨씬 높이 오래 날아간다.1
1.2.2역학적 에너지로 본 포물선 운동
공기 저항이 없으면 공의 역학적 에너지는 보존된다. 공이 올라가면 운동 에너지가 퍼텐셜 에너지로 바뀌어 느려지고, 내려오면 다시 빨라진다. 그런데 수평 속도는 그대로이므로 최고점에서도 속력이 0이 아니라 \(v\cos\theta\)이다. 같은 높이로 돌아오면 퍼텐셜 에너지가 처음과 같으므로 속력도 처음과 같은 \(v\)이다.
1.2.3예제 풀이
공을 20 m/s로 지면과 30°를 이루게 던졌다. 공이 다시 지면에 닿을 때까지의 시간, 수평 도달 거리, 최고 높이, 최고점에서의 속력을 구하여라. (\(g = 9.8\ \text{m/s}^2\))
처음 속도의 수평 성분은 \(20\cos 30° \approx 17.3\) m/s, 연직 성분은 \(20\sin 30° = 10\) m/s이다. 체공 시간은 \(T = \dfrac{2 \times 10}{9.8} \approx 2.04\) s이고, 수평 도달 거리는 \(17.3 \times 2.04 \approx 35.3\) m이다.
최고 높이는 \(\dfrac{10^2}{2 \times 9.8} \approx 5.1\) m이다. 에너지 보존으로 확인하면, 최고점에서의 속력은 수평 성분 17.3 m/s이므로 \(\dfrac{1}{2}m(20^2 - 17.3^2) = mgH\)에서 \(H = \dfrac{400 - 300}{19.6} \approx 5.1\) m로 같다. 같은 속력으로 45°로 던지면 \(\dfrac{400}{9.8} \approx 40.8\) m까지 간다.
아래 탐구 카드에서 수평으로 던진 공과 비스듬히 던진 공의 궤적을 직접 조작해 보자.
- 실제로는 공기 저항 때문에 가장 멀리 가는 각도가 45°보다 조금 작다. 투포환은 던지는 높이가 지면보다 높아서, 포탄은 공기 저항이 커서 각각 45°보다 낮은 각이 유리하다.
비스듬히 던진 물체의 운동은 수평 방향의 등속도 운동과 연직 방향의 등가속도 운동을 합친 것이며, 수평 도달 거리는 \(\frac{v^2\sin 2\theta}{g}\)이다. 공기 저항이 없으면 역학적 에너지가 보존되어 같은 높이에서 속력이 같다. 그래서 처음 질문의 공은 \(\sin 2\theta\)가 최대인 45°로 던질 때 가장 멀리 간다.