포물선 운동의 벡터 분석

빗방울은 2 km 높이의 구름에서 떨어진다. 공기가 없다면 땅에 닿을 때의 속력은 \(\sqrt{2gh} \approx 200\) m/s로, 총알처럼 우산을 뚫을 것이다. 그런데 실제 빗방울은 초속 수 미터로 떨어진다. 공기 저항이 속력을 줄인다는 것은 알지만, 왜 어느 속력에서 더는 빨라지지 않고 일정해질까? 그리고 위치와 속도를 벡터로 쓰면 공기 저항이 있는 포물선 운동은 어떻게 풀 수 있을까?

저항 계수 k (1/s)

1.1.1속도에 비례하는 저항

위치를 벡터 \(\vec r(t)\)로 쓰면 속도는 \(\vec v = \dfrac{d\vec r}{dt}\), 가속도는 \(\vec a = \dfrac{d\vec v}{dt}\)이다. 작은 물체가 공기 속을 천천히 움직이면, 공기 저항은 속도와 반대 방향이고 크기는 속력에 비례한다. 그래서 운동 방정식은 \(m\dfrac{d\vec v}{dt} = m\vec g - mk\vec v\)가 된다. 수평 성분과 연직 성분이 서로 섞이지 않으므로 따로 풀 수 있다. 연직 방향으로는 떨어질수록 저항이 커져, 저항이 중력과 같아지는 속력에서 가속도가 0이 된다. 이 속력을 종단 속도라 한다.

그림 1에서 저항 계수를 바꾸어 보자. \(k = 0.5\)/s이면 종단 속도는 \(9.8 \div 0.5 = 19.6\) m/s이고, 6 s 뒤에는 그 95%에 이른다. 저항이 두 배가 되면 종단 속도는 반이 되고, 거기에 다다르는 시간도 반으로 준다. 수평 방향에도 같은 저항이 작용하므로, 비스듬히 던진 공은 수평 속도가 지수 함수로 줄어 포물선보다 짧고 끝이 가파르게 꺾인 궤도를 그린다.¹

1.1.2저항이 속력의 제곱에 비례할 때

빗방울, 야구공, 낙하산처럼 크고 빠른 물체는 뒤에 소용돌이를 만들며 공기를 밀어내므로, 저항이 속력의 제곱에 비례한다. 그러면 운동 방정식은 \(m\dfrac{dv}{dt} = mg - cv^2\)이 되고, 종단 속도는 \(v_t = \sqrt{mg/c}\)이다. 이 경우 수평과 연직 성분이 서로 섞여 식을 손으로 풀기 어렵다. 그래서 짧은 시간 간격마다 속도와 위치를 조금씩 바꾸어 가는 수치 계산으로 궤도를 구한다. 어느 쪽이든 '저항이 중력과 같아지는 속력'에서 가속이 멈춘다는 생각은 같다.

1.1.3예제 풀이

종단 속도는 \(v_t = 9.8 \div 0.5 = 19.6\) m/s이다. 2 s 뒤에는 \(v = 19.6\,(1 - e^{-1}) = 19.6 \times 0.632 \approx 12.4\) m/s이다. 저항이 없으면 \(9.8 \times 2 = 19.6\) m/s이므로 약 63%에 그친다.

99%에 이르려면 \(e^{-kt} = 0.01\)이어야 하므로 \(t = \dfrac{\ln 100}{0.5} \approx 9.2\) s이다. 즉 종단 속도에 정확히 닿지는 않지만, 시간 상수의 몇 배만 지나면 사실상 일정한 속력으로 떨어진다. 그래서 빗방울은 구름에서 출발한 뒤 몇 초 안에 종단 속도에 이르고, 나머지 수백 m는 같은 속력으로 떨어진다.

아래 탐구 카드에서 공기 저항이 있을 때 포물선 궤도가 어떻게 찌그러지는지 확인하고, 각도에 따라 도달 거리가 어떻게 달라지는지 살펴보자.

1. 공기 저항이 있으면 가장 멀리 가는 발사각은 45°보다 작아진다. 야구에서 홈런 타구의 각도가 대개 25°에서 35° 사이인 것도 이 때문이다.