질량과 가속도의 관계

수평한 트랙 위의 수레에 실을 매고, 도르래 너머로 50 g짜리 추를 매달아 끌었다. 수레가 0.5 kg일 때 가속도는 0.89 m/s²였고, 추를 실어 1.5 kg으로 만들자 0.32 m/s²가 되었다. 뉴턴 운동 제2법칙대로라면 질량이 세 배일 때 가속도는 3분의 1인 0.30 m/s²이어야 하는데, 측정값은 그보다 조금 크다. 법칙이 틀린 것일까, 아니면 무언가를 빠뜨린 것일까?

수레의 질량 (kg)

2.2.1무엇이 함께 가속하는가

추의 무게 \(mg\)는 실을 통해 수레를 끈다. 그런데 이 힘이 가속시키는 것은 수레만이 아니다. 실로 이어진 수레와 추는 같은 가속도로 함께 움직이므로, 추의 무게는 수레와 추를 합친 전체 질량을 가속시킨다. 실의 장력은 추의 무게보다 조금 작아서, 수레를 실제로 끄는 힘은 \(mg\)가 아니다. 그래서 수레의 질량만으로 \(a = mg/M\)이라고 계산하면 가속도를 늘 크게 예측한다.

그림 1에서 수레의 질량을 바꾸어 보자. 0.5 kg일 때 \(mg/M\)은 0.98 m/s²이지만 실제 가속도는 \(0.49/0.55 = 0.89\) m/s²로, 단순 계산이 10%나 크다. 2 kg으로 무거워지면 차이는 2.5%로 줄어든다. 추가 전체 질량에서 차지하는 비율만큼 계산이 어긋나는 것이다. 추의 질량을 수레의 10분의 1 이하로 하라는 실험 안내는 이 어긋남을 줄이려는 것이다.

2.2.2법칙을 그래프로 확인하기

가속도가 질량에 반비례하는지 보려면 \(a\)를 \(M\)에 대해 그린 곡선보다, \(a\)를 \(1/(M + m)\)에 대해 그린 그래프가 낫다. 반비례라면 이 그래프는 원점을 지나는 직선이 되고, 기울기는 끄는 힘 \(mg\)이다. 곡선이 반비례인지는 눈으로 판단하기 어렵지만, 점들이 원점을 지나는 직선 위에 놓이는지는 쉽게 판단할 수 있다. 직선이 원점보다 아래쪽에서 가로축을 끊으면 마찰처럼 힘을 줄이는 무언가가 있다는 뜻이다. 그래서 실험을 시작하기 전에 트랙을 아주 조금 기울여, 추가 없을 때 수레가 등속으로 내려가도록 맞추어 마찰을 상쇄한다.¹

2.2.3예제 풀이

수레의 질량만 곱한 \(aM\)은 0.45, 0.47, 0.48 N으로 질량과 함께 커져 반비례가 아닌 것처럼 보인다. 추를 합친 질량을 곱한 \(a(M+m)\)은 0.49, 0.49, 0.50 N으로 추의 무게 \(0.05 \times 9.8 = 0.49\) N과 같다. 질량이 \(0.55\)에서 \(1.55\) kg으로 2.8배가 되었으므로 가속도는 \(0.89/2.8 = 0.32\) m/s²가 되어야 하고, 측정값과 맞는다. 법칙은 맞았고 추의 질량을 빠뜨린 것이다.

수레 0.5 kg일 때 장력은 \(T = Ma = 0.50 \times 0.89 = 0.445\) N으로 추의 무게보다 약 9% 작다. 수레만 보면 끄는 힘인 장력이 질량마다 달라지지만, 수레와 추를 하나의 물체로 보면 그 전체를 끄는 힘은 언제나 추의 무게 \(mg\)이다. 그래서 매단 추는 그대로 두고 수레에만 추를 실으며, 가로축을 \(1/(M + m)\)으로 잡으면 힘이 정확히 일정한 실험이 된다. 반대로 힘에 따른 관계를 볼 때는 처음부터 추 몇 개를 수레에 실어 두었다가 하나씩 옮겨 달아, 전체 질량을 일정하게 둔 채 힘만 바꾼다. 어느 쪽이든 무엇이 함께 가속하는지를 빠짐없이 세어야 법칙이 그대로 드러난다.

아래 탐구 카드에서 수레의 질량을 바꾸어 가며 가속도를 재고, \(1/(M+m)\)에 대한 그래프가 원점을 지나는 직선이 되는지 확인해 보자.

1. 1784년 영국의 애트우드는 도르래에 질량이 거의 같은 두 추를 걸어 운동을 느리게 만든 장치로 이 관계를 확인했다. 두 추의 무게 차가 두 추 전체를 가속하므로, 가속도를 \(g\)보다 훨씬 작게 만들어 눈으로 잴 수 있었다.