일과 역학적 에너지

롤러코스터는 처음에 체인으로 가장 높은 언덕까지 끌어 올려진 뒤로는 엔진 없이 달린다. 내려오며 빨라지고 다음 언덕을 오르며 느려지는데, 첫 언덕보다 높은 언덕은 넘지 못한다. 속력과 높이 사이에서 무엇이 오가는 것일까?

수레의 위치

1.4.1일과 운동 에너지

물체에 일정한 힘 \(F\)를 주어 힘의 방향으로 \(s\)만큼 움직였을 때 \(W = Fs\)를 힘이 한 일이라 한다. 질량 \(m\)인 물체에 알짜힘 \(F\)가 일을 하면 가속도 \(a = \tfrac{F}{m}\)이 생기고, \(v^2 - v_0^2 = 2as\)이므로 \(Fs = ma \cdot s = \tfrac{1}{2}mv^2 - \tfrac{1}{2}mv_0^2\)이다.

여기서 \(\tfrac{1}{2}mv^2\)를 운동 에너지라 한다. 즉 알짜힘이 한 일만큼 운동 에너지가 늘어난다. 이것을 일과 운동 에너지의 관계, 일-에너지 정리라 한다. 알짜힘이 운동 방향과 반대이면 일이 음수가 되어 운동 에너지가 줄어든다. 일과 에너지의 단위는 모두 J(줄)이다.

1.4.2퍼텐셜 에너지와 역학적 에너지 보존

물체를 높이 \(h\)만큼 천천히 들어 올리면 중력을 거슬러 \(mgh\)의 일을 해야 한다. 그 일은 사라지지 않고, 물체가 다시 떨어질 때 중력이 \(mgh\)의 일을 하여 운동 에너지로 돌려준다. 그래서 높은 곳에 있는 물체는 \(mgh\)만큼의 에너지를 '저장'하고 있다고 보고, 이것을 중력 퍼텐셜 에너지라 한다.

그림 1의 슬라이더로 수레를 궤도 위에서 움직여 보자. 낮은 곳에서는 퍼텐셜 에너지 막대가 줄고 운동 에너지 막대가 늘며, 두 막대의 합은 언제나 같다. 첫 언덕의 높이가 역학적 에너지의 총량을 정하므로, 그보다 높은 언덕은 넘을 수 없다.¹

1.4.3예제 풀이

처음 역학적 에너지는 \(mg \times 40\)이다. 골짜기에서는 퍼텐셜 에너지가 0이므로 \(\tfrac{1}{2}mv^2 = 40mg\), 곧 \(v^2 = 800\), \(v \approx 28.3\) m/s이다. 질량이 양변에서 지워지므로 수레의 무게와 상관이 없다.

둘째 언덕에서는 \(\tfrac{1}{2}mv^2 + 20mg = 40mg\)이므로 \(v^2 = 400\), \(v = 20\) m/s이다. 높이 20 m만큼의 퍼텐셜 에너지가 운동 에너지로 바뀐 셈이다.

실제 롤러코스터는 마찰과 공기 저항으로 역학적 에너지가 조금씩 열로 바뀐다. 그래서 언덕이 뒤로 갈수록 낮아지도록 설계한다. 아래 탐구 카드에서 일과 운동 에너지, 롤러코스터와 진자를 직접 조작해 보자.

1. 마찰력이 일을 하면 역학적 에너지가 줄어들고 그만큼 열에너지가 생긴다. 이것까지 포함한 전체 에너지는 보존되며, 다음 절의 열과 에너지 보존에서 다룬다.