단진동

용수철에 추를 매달아 살짝 당겼다 놓으면 위아래로 진동한다. 조금 당겼을 때와 많이 당겼을 때를 비교하면, 많이 당긴 쪽이 더 먼 거리를 움직이는데도 한 번 왕복하는 데 걸리는 시간은 같다. 왜 그럴까? 또 무거운 추로 바꾸면 주기는 어떻게 달라질까?

추의 질량 \(m\) (kg)

용수철 상수 \(k\) (N/m)

3.1.1되돌리는 힘과 단진동

용수철을 \(x\)만큼 늘이면 용수철은 늘어난 반대 방향으로 \(F = -kx\)의 힘을 준다. 추가 평형 위치에서 멀어질수록 되돌리는 힘이 커지고, 평형 위치에서는 힘이 0이다. 이렇게 변위에 비례하고 방향이 반대인 힘을 받는 물체의 운동을 단진동이라 한다.

등속 원운동하는 물체의 그림자를 한 직선에 비추면 단진동과 똑같이 움직인다. 반지름 \(A\), 각속도 \(\omega\)인 원운동의 그림자는 \(x = A\cos\omega t\)이고, 가속도는 \(a = -\omega^2 x\)이다. 이것을 \(ma = -kx\)와 비교하면 \(\omega^2 = \dfrac{k}{m}\)이다.

그런데 진폭이 커지면 움직이는 거리가 길어지지만, 되돌리는 힘도 비례하여 커져 더 빨리 움직인다. 그 두 효과가 정확히 상쇄되므로 주기가 같다. 그림 1에서 질량을 4배로 하면 주기는 2배, 용수철 상수를 4배로 하면 주기는 절반이 된다.¹

3.1.2단진동의 에너지

한편 에너지로 보아도 단진동을 이해할 수 있다. 추가 진동하는 동안 탄성 퍼텐셜 에너지 \(\dfrac{1}{2}kx^2\)과 운동 에너지 \(\dfrac{1}{2}mv^2\)이 서로 바뀌지만 그 합은 \(\dfrac{1}{2}kA^2\)으로 일정하다. 양 끝에서는 속력이 0이고 가속도가 가장 크며, 평형 위치에서는 속력이 가장 크고 가속도가 0이다.

3.1.3예제 풀이

각속도는 \(\omega = \sqrt{\dfrac{20}{0.5}} = \sqrt{40} \approx 6.32\) rad/s이므로 주기는 \(T = \dfrac{2\pi}{6.32} \approx 0.99\) s이다.

그리고 최대 속력은 \(A\omega = 0.1 \times 6.32 \approx 0.63\) m/s이며 평형 위치에서 나타난다. 에너지로 확인하면 \(\dfrac{1}{2} \times 20 \times 0.1^2 = 0.1\) J \(= \dfrac{1}{2} \times 0.5 \times v^2\)에서 \(v \approx 0.63\) m/s로 같다. 최대 가속도는 \(A\omega^2 = 0.1 \times 40 = 4\) m/s²이며 양 끝에서 나타난다. 같은 추를 0.2 m 당겨도 주기는 0.99 s 그대로이고, 최대 속력과 최대 가속도만 두 배가 된다.

아래 탐구 카드에서 질량과 용수철 상수를 바꾸며 주기가 어떻게 달라지는지 직접 확인해 보자.

1. 흔들리는 진자도 진폭이 작으면 단진동하며, 주기는 \(2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\)로 추의 질량과 관계없다. 갈릴레이가 성당의 샹들리에를 보고 이 등시성을 알아챘다는 이야기가 전한다.