용수철 진자의 역학적 에너지
본문용수철 상수 20 N/m인 용수철에 0.5 kg 추를 매달고, 평형 위치에서 10 cm 아래로 당겼다 놓았다. 추 아래의 운동 센서가 위치를 기록한다. 가장 낮은 곳에서 용수철은 34.5 cm 늘어나 있어 탄성 에너지가 1.19 J이고, 가장 높은 곳에서는 14.5 cm만 늘어나 0.21 J이다. 두 곳 모두 추는 멈춰 있다. 탄성 에너지가 이렇게 다른데 역학적 에너지는 보존된다고 할 수 있을까? 빠뜨린 에너지는 무엇일까?
2.8.1세 가지 에너지
세로로 매단 용수철 진자에는 세 가지 에너지가 있다. 추가 움직이는 운동 에너지 \(\tfrac{1}{2}mv^2\), 용수철이 늘어난 탄성 퍼텐셜 에너지 \(\tfrac{1}{2}kx^2\), 그리고 추의 높이에 따른 중력 퍼텐셜 에너지 \(mgh\)이다. 추가 내려가면 용수철이 더 늘어 탄성 에너지가 커지지만, 동시에 높이가 낮아져 중력 에너지가 준다. 탄성 에너지만 보면 에너지가 보존되지 않는 것처럼 보이는 까닭이 여기에 있다. 세 에너지를 모두 더해야 일정한 값이 나온다.
추가 평형 위치에서 \(y\)만큼 벗어났을 때, 탄성 에너지와 중력 에너지의 변화를 더하면 \(\tfrac{1}{2}ky^2\)이 된다. 따라서 \[\tfrac{1}{2}mv^2 + \tfrac{1}{2}ky^2 = \tfrac{1}{2}kA^2\]으로 일정하다(\(A\)는 진폭). 세로 용수철 진자는 평형 위치를 기준으로 보면 중력이 없는 수평 용수철 진자와 같다.
평형 위치에서는 용수철이 \(x_0 = mg/k\)만큼 늘어나 추의 무게를 받친다. 여기서 \(y\)만큼 더 내려가면 탄성 에너지는 \(\tfrac{1}{2}k(x_0 + y)^2 - \tfrac{1}{2}kx_0^2 = kx_0 y + \tfrac{1}{2}ky^2\)만큼 늘고, 중력 에너지는 \(mgy = kx_0 y\)만큼 준다. 첫째 항이 서로 지워지고 \(\tfrac{1}{2}ky^2\)만 남는다. 그림 1에서 시각을 바꾸어 보자. 주기의 4분의 1 지점에서 추가 평형 위치를 지날 때는 모든 에너지가 운동 에너지이고, 양 끝에서는 모두 퍼텐셜 에너지이다. 그 사이 어디에서든 두 막대의 합은 \(\tfrac{1}{2} \times 20 \times 0.1^2 = 0.1\) J로 같다.
2.8.2센서 자료로 확인하기
운동 센서는 위치를 1초에 수십 번 기록하고, 이웃한 두 위치의 차를 시간 간격으로 나누어 속도를 계산한다. 위치와 속도를 알면 시각마다 세 에너지를 계산해 더할 수 있다. 실제로 기록하면 합이 몇 주기에 걸쳐 조금씩 줄어드는데, 공기 저항과 용수철 내부의 마찰이 역학적 에너지를 열로 바꾸기 때문이다. 줄어드는 비율이 한 주기의 에너지에 비해 작으면, 한 주기 안에서는 에너지가 보존된다고 말할 수 있다. 용수철의 질량을 무시했으므로, 용수철이 추보다 아주 가벼워야 이 계산이 맞는다.1
2.8.3예제 풀이
처음 질문의 진자에서 평형 위치일 때 용수철이 늘어난 길이, 추의 최대 속력, 그리고 세 위치에서의 에너지를 구하여 그림 2를 확인하여라. 중력 에너지의 기준은 평형 위치로 한다.
평형 위치에서 늘어난 길이는 \(x_0 = mg/k = 0.5 \times 9.8 / 20 = 0.245\) m이다. 각진동수는 \(\omega = \sqrt{k/m} = \sqrt{40} \approx 6.32\) rad/s이므로 최대 속력은 \(A\omega = 0.10 \times 6.32 = 0.632\) m/s이고, 그때 운동 에너지는 \(\tfrac{1}{2} \times 0.5 \times 0.632^2 = 0.100\) J이다. 평형 위치의 탄성 에너지는 \(\tfrac{1}{2} \times 20 \times 0.245^2 = 0.600\) J이므로 합은 0.700 J이다.
가장 낮은 곳에서는 용수철이 0.345 m 늘어나 탄성 에너지가 \(\tfrac{1}{2} \times 20 \times 0.345^2 = 1.190\) J이고, 평형 위치보다 0.10 m 낮아 중력 에너지가 \(-0.5 \times 9.8 \times 0.10 = -0.490\) J이다. 가장 높은 곳에서는 0.145 m 늘어나 0.210 J, 중력 에너지는 \(+0.490\) J이다. 세 곳의 합은 모두 0.700 J이다. 평형 위치를 기준으로 한 퍼텐셜 에너지 \(\tfrac{1}{2}ky^2\)으로 보면 양 끝에서 0.100 J, 평형 위치에서 0이어서 그림 1과 같다. 기준을 어디로 잡든 합이 일정하다는 결론은 같고, 바뀌는 것은 합의 값뿐이다.
아래 탐구 카드에서 운동 센서로 용수철 진자의 위치를 기록하고, 세 에너지의 합이 시간에 따라 일정한지 확인해 보자.
- 용수철의 질량을 무시하지 않으면, 용수철의 아래쪽은 추와 함께 빠르게, 위쪽은 거의 움직이지 않는다. 계산해 보면 용수철 질량의 3분의 1을 추에 더한 것처럼 주기가 길어지고, 운동 에너지에도 그만큼이 더해진다.
세로 용수철 진자의 역학적 에너지는 운동 에너지, 탄성 에너지, 중력 에너지의 합이고, 추가 내려가며 늘어나는 탄성 에너지는 줄어드는 중력 에너지가 상당 부분 메운다. 평형 위치를 기준으로 하면 두 퍼텐셜 에너지의 합이 \(\tfrac{1}{2}ky^2\)이 되어 \(\tfrac{1}{2}mv^2 + \tfrac{1}{2}ky^2\)이 일정하다. 처음 질문에서 빠뜨린 것은 중력 에너지이고, 그것까지 더하면 가장 낮은 곳과 가장 높은 곳의 합은 모두 0.70 J이다.