힘의 합성과 운동 예측

경사진 화물 경사로에 상자를 올려놓으면, 기울기가 작을 때는 가만히 있다가 어느 각도를 넘으면 미끄러지기 시작한다. 상자에는 중력, 경사로가 떠받치는 힘, 마찰력이 동시에 작용한다. 방향이 제각각인 여러 힘을 어떻게 하나로 합쳐 상자의 운동을 예측할 수 있을까?

경사각 \(\theta\) (°)

마찰 계수 \(\mu\)

1.1.1힘의 합성과 분해

힘은 크기와 방향을 가진 벡터이므로, 한 물체에 여러 힘이 작용하면 벡터의 합으로 알짜힘을 구한다. 두 힘이 이루는 평행사변형의 대각선이 합력이다. 반대로 한 힘을 서로 수직인 두 방향의 성분으로 나눌 수도 있는데, 이를 힘의 분해라 한다. 빗면 문제는 빗면에 나란한 방향과 수직인 방향으로 나누면 계산이 쉬워진다.

그림 1에서 경사각을 키워 보자. 빗면 방향 성분(주황 화살표)은 커지고 수직항력은 작아져 최대 마찰력도 줄어든다. \(\mu = 0.4\)이면 \(\tan\theta > 0.4\), 곧 약 22°를 넘을 때 미끄러지기 시작한다. 이 각을 미끄러지기 시작하는 각, 곧 마찰각이라 하며 마찰 계수를 재는 데 쓴다.¹

1.1.2알짜힘으로 운동 예측하기

그런데 힘이 여럿이면 빠뜨리기 쉽다. 그래서 물체에 작용하는 모든 힘을 먼저 그려 두는데, 이 그림을 자유 물체 그림이라 한다. 모든 힘을 성분으로 나누어 방향마다 더하면 알짜힘을 얻고, \(F = ma\)로 가속도를 구하면 이후의 운동을 예측할 수 있다. 알짜힘이 0이면 물체는 정지해 있거나 등속도 운동을 한다. 다리나 지붕처럼 움직이지 않아야 하는 구조물은 모든 부재에서 알짜힘과 알짜 돌림힘이 0이 되도록 설계한다.

1.1.3예제 풀이

빗면 방향 중력 성분은 \(2 \times 9.8 \times 0.5 = 9.8\) N, 수직항력은 \(2 \times 9.8 \times 0.866 \approx 16.97\) N, 마찰력은 \(0.2 \times 16.97 \approx 3.39\) N이다. 알짜힘은 \(9.8 - 3.39 = 6.41\) N이므로 가속도는 \(\dfrac{6.41}{2} \approx 3.2\ \text{m/s}^2\)이다.

따라서 2초 동안 미끄러진 거리는 \(\dfrac{1}{2} \times 3.2 \times 2^2 = 6.4\) m이다. 공식 \(a = g(\sin\theta - \mu\cos\theta) = 9.8(0.5 - 0.173) \approx 3.2\)로도 같은 값이 나온다. 질량이 약분되므로, 무거운 상자나 가벼운 상자나 같은 빗면에서는 같은 가속도로 미끄러진다.

아래 탐구 카드에서 다리의 삼각형 뼈대와 빗면 위 상자의 운동을 힘의 합성으로 직접 따져 보자.

1. 정지해 있는 물체를 움직이기 시작할 때의 최대 정지 마찰 계수가, 움직이는 중의 운동 마찰 계수보다 대개 조금 크다. 무거운 가구를 밀 때 처음 움직이기가 가장 힘든 까닭이다.