힘의 평형과 돌림힘

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몸무게 60 kg인 사람과 30 kg인 아이가 시소를 탄다. 아이가 받침점에서 2 m 떨어져 앉으면, 어른은 어디에 앉아야 시소가 수평을 유지할까? 힘의 크기만 같으면 될 것 같지만 시소는 그렇지 않다. 무엇을 더 따져야 할까?

어른의 거리 (m)

그림 1. 시소는 힘의 크기가 아니라 '힘 × 받침점까지의 거리'가 양쪽에서 같을 때 수평을 이룬다(어른 60 kg, 아이 30 kg이 2 m).

먼저 알아야 할 것중학교의 힘의 합성과 평형, 무게 \(W = mg\), 벡터의 성분(중력장 내의 운동).

1.1.1힘의 평형

물체가 정지해 있거나 일정한 속도로 움직이려면 물체에 작용하는 힘의 합, 곧 알짜힘이 0이어야 한다. 시소에서는 두 사람의 무게가 아래로, 받침점이 시소를 위로 미는 힘이 작용하고, 이 세 힘의 합이 0이어서 시소가 위아래로 움직이지 않는다.

그런데 알짜힘이 0이어도 물체는 돌 수 있다. 문을 열 때 손잡이 쪽을 밀면 쉽게 열리지만 경첩 가까이를 밀면 같은 힘으로도 잘 열리지 않는다. 회전에는 힘의 크기뿐 아니라 힘이 작용하는 위치가 중요하다.

1.1.2돌림힘

정의 1.1.1 돌림힘

회전축에서 힘의 작용선까지의 거리를 \(r\), 힘의 크기를 \(F\)라 할 때 물체를 돌리는 효과 \(\tau = rF\)를 돌림힘(토크)이라 하며, 단위는 N·m이다.

시소에서 아이의 돌림힘은 \(30g \times 2 = 60g\) N·m이다. 시소가 돌지 않으려면 어른의 돌림힘도 \(60g\) N·m이어야 하므로 \(60g \times d = 60g\), 곧 \(d = 1\) m이다. 그림 1의 슬라이더로 어른의 거리를 바꾸어 보면 1 m에서만 수평이 되고, 그보다 멀면 어른 쪽으로, 가까우면 아이 쪽으로 기운다.

정리 1.1.2 물체의 평형 조건

물체가 정지 상태를 유지하려면 (ⅰ) 물체에 작용하는 알짜힘이 0이고, (ⅱ) 어느 점을 축으로 잡아도 돌림힘의 합이 0이어야 한다.

두 조건은 각각 '미끄러지지 않음'과 '돌지 않음'을 뜻한다. 크레인이 무거운 짐을 들어도 넘어지지 않는 것은 반대쪽에 무거운 추를 달아 돌림힘의 합을 0에 가깝게 맞추기 때문이다.¹

그림 2. 크레인은 기둥을 축으로 짐의 돌림힘과 평형추의 돌림힘이 맞서도록 설계된다.

1.1.3예제 풀이

예제 1.1.3

길이 4 m, 질량 10 kg인 고른 판자의 양 끝을 두 받침대가 받치고 있다. 왼쪽 끝에서 1 m 떨어진 곳에 질량 40 kg인 상자를 올렸을 때 두 받침대가 판자를 떠받치는 힘을 각각 구하여라. (\(g = 10\ \text{m/s}^2\))

왼쪽 받침대의 힘을 \(N_1\), 오른쪽을 \(N_2\)라 하자. 알짜힘이 0이므로 \(N_1 + N_2 = 400 + 100 = 500\) N이다. 고른 판자의 무게는 가운데, 곧 왼쪽 끝에서 2 m인 곳에 작용한다고 본다.

왼쪽 끝을 축으로 돌림힘의 합이 0이어야 한다. 시계 방향으로 돌리는 것은 상자 \(400 \times 1\)과 판자 \(100 \times 2\)이고, 반시계 방향은 \(N_2 \times 4\)이다. 따라서 \(4N_2 = 400 + 200 = 600\), 곧 \(N_2 = 150\) N이고, \(N_1 = 500 - 150 = 350\) N이다.

상자가 왼쪽에 가까우니 왼쪽 받침대가 더 많이 떠받치는 것이 자연스럽다. 축을 왼쪽 끝으로 잡아 \(N_1\)의 돌림힘을 0으로 만든 것이 계산을 짧게 한 요령이다. 아래 탐구 카드에서 시소와 크레인의 힘과 거리를 바꾸며 평형 조건을 직접 확인해 보자.

물체 전체의 무게가 한 점에 모여 작용한다고 볼 수 있는 점을 무게중심이라 한다. 받침면 안쪽에 무게중심이 있으면 물체는 넘어지지 않는다.

마무리

물체가 정지해 있으려면 알짜힘이 0이어서 미끄러지지 않고, 돌림힘의 합이 0이어서 돌지 않아야 한다. 돌림힘은 힘의 크기에 축까지의 거리를 곱한 것이다. 그래서 처음 질문의 시소는 아이의 돌림힘 \(30g \times 2\)와 같아지도록 어른이 받침점에서 1 m 떨어져 앉으면 수평이 된다.

탐구 1

시소에서 가벼운 사람은 왜 멀리 앉아야 할까?

돌림힘 · 회전 평형

A 몸무게 = 60 kg A 거리 = 1.00 m

B 몸무게 = 30 kg B 거리 = 1.00 m

A의 돌림힘 m·g·d: —
B의 돌림힘: —
알짜 돌림힘: —

판의 회전은 운동 방정식을 수치로 풀어 그린다. 사람은 판 위의 한 점에 몰린 질량으로 보고(모식), 판 자체의 무게는 받침점 위에 중심이 있어서 돌림힘을 만들지 않는다.

질문몸무게가 두 배인 사람과 시소를 탈 때, 가벼운 사람은 왜 끝 쪽으로 가야 할까?
복원문을 열 때 경첩 가까이를 밀면 잘 열리지 않는다. 즉 같은 힘이라도 회전축에서 얼마나 떨어진 곳에 주느냐에 따라 돌리는 효과가 다르다.
설명물체를 돌리는 효과를 돌림힘이라고 하고, 크기는 힘과 회전축에서 힘의 작용선까지의 거리를 곱한 값 τ = r F이다. 그래서 무게가 2배이면 거리가 절반일 때 돌림힘이 같아진다.
연결시소가 멈춰 있으려면 두 가지가 모두 필요하다. 힘의 합이 0이어서 받침점이 두 사람과 판의 무게를 모두 떠받쳐야 하고(위쪽 화살표 N), 돌림힘의 합도 0이어서 m_Ag d_A = m_Bg d_B여야 한다.
적용처음 상태(60 kg, 30 kg, 둘 다 1 m)에서 B를 몇 m로 옮겨야 평형이 될지 계산한 뒤 슬라이더로 확인해 보자. 평형을 맞춘 다음 ‘판을 살짝 기울여 놓기’를 눌러 판이 어떻게 되는지도 보자.
판단평형은 ‘수평’이라는 뜻이 아니다. 돌림힘이 맞으면 판은 기울어진 채로도 그대로 멈춰 있다. 반대로 거의 맞아도 조금이라도 어긋나면 시소는 천천히 한쪽으로 내려간다. 실제 시소에서는 사람이 판 위로 솟아 앉고 몸을 움직이므로, 이 그림처럼 정확히 멈추지는 않는다.

확인조건이 달라지면

30 kg인 동생이 받침점에서 1.6 m 떨어진 곳에 앉아 있다. 40 kg인 형은 반대쪽 어디에 앉아야 시소가 평형을 이룰까?

탐구 2

크레인은 왜 넘어지지 않을까?

무게중심 · 받침의 힘 · 안정성

짐 = 4.0 t 짐까지의 거리 = 30 m 균형추 = 20 t

왼쪽 받침 N₁: —
오른쪽 받침 N₂: —
무게중심 위치: —
이 거리의 최대 하중: —

모식 크레인이다. 기둥과 바닥 20 t, 앞쪽 팔 8 t, 뒤쪽 팔 3 t이고, 균형추는 기둥에서 12 m, 받침 간격은 6 m이다. 실제 타워 크레인은 바닥을 땅에 고정하고 하중표에 따라 운전한다.

질문타워 크레인은 기둥 하나에 50 m짜리 팔을 옆으로 뻗고, 그 끝에 몇 톤짜리 짐을 매단다. 어떻게 넘어지지 않을까?
복원물체 전체의 무게는 무게중심 한 점에 작용한다고 볼 수 있다. 그리고 앞 카드의 시소처럼, 멈춰 있으려면 힘의 합과 돌림힘의 합이 모두 0이어야 한다.
설명그런데 땅은 두 받침을 위로 밀 수만 있고 아래로 당기지는 못한다. 두 평형 조건으로 받침의 힘 N₁, N₂를 구해 보면, 무게중심이 두 받침 사이에 있을 때에만 둘 다 0 이상이 된다.
연결식으로는 N₁ + N₂ = W이고, 기둥 중심을 축으로 한 돌림힘 평형은 (N₂ − N₁)·3 m = Σ m g x이다. 짐을 멀리 걸수록 N₁이 줄어들고, N₁이 0보다 작아져야 하는 순간 크레인은 오른쪽 받침을 축으로 넘어간다.
적용짐을 5 m에서 50 m까지 옮기면서 ‘이 거리의 최대 하중’을 보고, 거리가 2배가 되면 들 수 있는 무게가 어떻게 변하는지 확인해 보자. 그다음 짐을 0으로 두고 균형추를 끝까지 올려 보자.
판단균형추는 무거울수록 좋은 것이 아니다. 짐을 내려놓은 순간 균형추 쪽으로 넘어갈 수 있기 때문이다. 즉 균형추는 짐이 있을 때와 없을 때 모두 무게중심이 받침 사이에 오도록 고른 타협이다. 또 이 모형은 바람과 흔들림을 빼고 정지 상태만 다룬다.

확인조건이 달라지면

이동식 크레인은 작업 전에 차체 옆으로 지지대(아웃트리거)를 넓게 펼친다. 이렇게 하는 가장 중요한 이유는?

탐구 3

다리의 뼈대는 왜 삼각형으로 짤까?

트러스 · 마디마다 힘의 평형

트럭 위치 = 10.0 m 트러스 높이 = 4.0 m

가운데 칸에 대각선 넣기

가장 큰 인장력: —
가장 큰 압축력: —
받침 반력 (왼 · 오): —

당겨지는 부재(인장) 눌리는 부재(압축) · 선이 굵을수록 큰 힘

질문철교나 지붕 뼈대를 보면 막대가 대부분 삼각형으로 짜여 있다. 사각형으로 짜면 재료도 덜 들 텐데, 왜 그렇게 하지 않을까?
복원멈춰 있는 물체는 힘의 합이 0이다. 이 조건은 다리 전체에도 성립하지만, 막대가 만나는 마디 하나하나에도 성립한다.
설명막대 끝이 핀으로 이어진 뼈대를 트러스라고 하고, 각 막대는 양 끝에서 당기거나 누르는 힘만 받는다. 그래서 마디 8개에서 가로와 세로 평형식 16개를 세우면, 막대 13개의 힘과 받침 반력 3개, 모두 16개를 정확히 구할 수 있다.
연결그런데 대각선 두 개를 빼면 미지수가 14개로 줄어, 일반적인 하중에서는 16개의 평형식을 모두 만족시킬 수 없다. 사각형 칸은 막대 길이를 그대로 둔 채 각만 바뀌어 찌그러질 수 있기 때문이다. 반면 삼각형은 세 변의 길이가 정해지면 모양이 하나로 정해진다.
적용트럭을 가운데에 두고 높이를 4 m에서 2 m로 낮춰 위아래 막대의 힘이 몇 배가 되는지 보자. 트럭을 옮기면 어느 막대가 당겨지고 어느 막대가 눌리는지도 확인해 보자.
판단힘이 0으로 나온 막대도 쓸모없는 것은 아니다. 트럭이 다른 곳에 있거나 바람이 불면 힘을 받기 때문이다. 또 이 모형은 막대 무게를 빼고, 마디를 자유롭게 도는 핀으로 본다. 실제 다리는 막대 자체의 무게, 용접된 마디, 흔들림까지 따져서 설계한다.

확인조건이 달라지면

같은 트러스 다리를 높이만 절반으로 낮추고 같은 트럭을 가운데에 올리면, 위쪽 가운데 막대가 받는 압축력은?