기조력과 조석 마찰

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탁 트인 대양 한가운데의 조차는 1 m도 안 된다. 그런데 캐나다 동부의 펀디만 안쪽에서는 만조와 간조의 차이가 16 m에 이르러, 배들이 하루 두 번 갯벌 위에 주저앉았다가 다시 떠오른다. 우리나라 인천 앞바다의 조차도 9 m를 넘는다. 같은 달이 끌어당기는데 왜 어떤 곳에서만 조석이 이렇게 커질까? 그리고 이 조석은 수십억 년에 걸쳐 지구와 달에 무슨 일을 해 왔을까?

만의 길이 (km) 만의 평균 수심 (m)

그림 1. 한쪽 끝이 막힌 만의 고유 진동 주기와 반일주조 주기(12.42시간)의 비에 따른 조차 증폭 배율(마찰을 넣은 모형). 두 주기가 같아지면 공명하여 조차가 크게 커진다.

먼저 알아야 할 것기조력과 조석(지구과학), 공명과 강제 진동(물리학), 천해파의 속도(해파와 해일).

2.10.1기조력

달이 지구의 각 부분을 끌어당기는 힘은 거리에 따라 다르다. 달에 가까운 쪽은 지구 중심보다 세게, 먼 쪽은 약하게 끌린다. 지구 중심이 받는 인력을 빼고 남은 이 차이가 기조력이다. 그래서 바닷물은 달을 향한 쪽과 그 반대쪽 두 곳에서 부풀고, 지구가 자전하면 하루에 두 번 만조가 온다. 기조력은 인력 자체가 아니라 인력의 차이라서 거리의 세제곱에 반비례한다. 태양은 달보다 훨씬 무겁지만 멀리 있어 기조력이 달의 약 46%이다.

정리 2.10.1 만의 공명

한쪽 끝이 막힌 길이 \(L\), 수심 \(h\)인 만에서 물결은 천해파의 속도 \(\sqrt{gh}\)로 오가며, 고유 진동 주기는 \[T_n = \frac{4L}{\sqrt{gh}}\]이다. 이 주기가 조석의 주기와 가까우면 만 어귀로 들어온 조석파가 공명하여 만 안쪽의 조차가 크게 커진다.

그림 1에서 두 값을 바꾸어 보자. 길이 270 km, 수심 60 m인 펀디만은 \(T_n = \dfrac{4 \times 270000}{\sqrt{9.8 \times 60}} \approx 44500\) s, 곧 약 12.4시간이다. 반일주조의 주기 12.42시간과 거의 같아 공명이 일어나 조차가 몇 배로 커진다. 만이 너무 짧거나 깊으면 고유 주기가 짧아져 공명이 약하다. 서해는 수심이 얕고 넓으며 경기만처럼 깊숙한 만이 많아, 조석파가 크게 증폭된다.¹

2.10.2조석 마찰

조석은 바닷물을 하루 두 번 대륙붕 위로 밀어 올렸다 끌어내리며 바닥과의 마찰로 에너지를 잃는다. 이 에너지는 지구의 자전에서 나온다. 그래서 지구의 자전은 아주 조금씩 느려져, 하루의 길이가 100년에 약 2 ms씩 늘어난다. 그리고 바닷물의 부푼 부분이 지구의 자전을 따라 달보다 조금 앞서 있으므로, 그 부분이 달을 앞쪽으로 끌어당겨 달의 궤도가 커진다. 레이저로 재면 달은 해마다 약 3.8 cm씩 멀어지고 있다. 약 4억 년 전 산호 화석의 성장선을 세어 보면 1년이 약 400일이었다. 그때는 하루가 22시간 남짓이었다는 뜻이다.

그림 2. 해안과 해저의 모양이 조석파를 증폭해 같은 기조력에서도 조차가 크게 다르다.

2.10.3예제 풀이

예제 2.10.2

길이 150 km인 만이 반일주조(12.42시간)와 공명하려면 평균 수심이 얼마여야 하는가? 이 만의 수심이 실제로는 60 m라면 고유 주기는 얼마이며, 공명에서 얼마나 벗어나는가?

공명하려면 \(T_n = 4L/\sqrt{gh} = 44700\) s이어야 하므로 \(\sqrt{gh} = 4 \times 150000 \div 44700 \approx 13.4\) m/s, 곧 \(h = 13.4^2 \div 9.8 \approx 18\) m이다.

수심이 60 m라면 \(\sqrt{gh} \approx 24.2\) m/s이므로 \(T_n = 600000 \div 24.2 \approx 24800\) s, 곧 약 6.9시간으로 조석 주기의 0.55배이다. 그림 1의 모형으로 증폭은 약 1.4배에 그친다. 즉 같은 길이의 만이라도 수심에 따라 공명 여부가 크게 달라진다. 그래서 조력 발전소는 조차가 큰 곳에 짓는데, 우리나라의 시화호 조력 발전소도 서해의 큰 조차를 이용한다.

아래 탐구 카드에서 기조력의 크기를 계산하고, 조석 마찰이 지구의 하루와 달의 거리를 어떻게 바꾸어 왔는지 살펴보자.

바닷물 전체의 조석 에너지 소모는 약 3.7 TW로, 인류가 쓰는 에너지의 5분의 1쯤이다. 그 대부분이 얕은 대륙붕과 만에서 마찰로 사라진다.

마무리

기조력은 달과 태양의 인력이 지구의 각 부분에서 다른 데서 생기며 거리의 세제곱에 반비례하고, 대양의 조차는 1 m 미만이다. 만의 고유 진동 주기 \(4L/\sqrt{gh}\)가 조석 주기와 가까우면 공명으로 조차가 크게 커지고, 조석 마찰은 지구의 자전을 늦추고 달을 밀어낸다. 그래서 처음 질문의 펀디만은 길이와 수심이 만드는 고유 주기가 반일주조와 거의 같아, 공명으로 조차가 16 m에 이른다.

탐구 1

밀물과 썰물은 왜 하루에 두 번일까, 그리고 왜 매일 달라질까?

조석 · 기조력, 사리와 조금, 일조 부등

관측 지점의 위도 = 37°N 달의 적위 = 0° 달의 나이 = 0일 (삭)

만조 횟수 (달 기준 하루 24시간 50분): —
조차(가장 큰 값, 상대): —
연이은 두 만조의 높이 차: —

바다가 기조력에 곧바로 평형을 이룬다고 가정한 평형 조석 모델이다(달의 기조력 1 : 태양 0.46). 실제 조석은 바다의 모양과 깊이에 따라 늦어지고 크기가 크게 달라진다.

질문바닷가에서는 대략 하루에 두 번 물이 들어오고 두 번 빠지며, 그 시각은 매일 약 50분씩 늦어진다. 또 한 달에 두 번은 물이 유난히 많이 들고 난다. 달이 한 쪽에만 있는데 왜 바다는 두 번 부풀까?
복원만유인력은 거리의 제곱에 반비례한다. 그리고 지구와 달은 공통 질량 중심을 돌고, 달의 위상은 약 29.5일마다 되풀이된다.
설명달은 지구의 가까운 쪽 바다를 중심보다 더 세게, 먼 쪽 바다를 더 약하게 당긴다. 그래서 지구 전체가 받는 평균 인력을 빼면 가까운 쪽은 달 쪽으로, 먼 쪽은 달 반대쪽으로 끌리는 힘이 남는데, 이것이 기조력이다. 바다는 양쪽으로 부풀고, 지구가 자전하며 한 지점이 두 번의 부푼 곳을 지나므로 하루(달 기준 약 24시간 50분)에 만조가 두 번 온다.
연결태양의 기조력은 달의 약 절반이다. 삭과 망에는 달과 태양의 기조력이 같은 방향으로 겹쳐 조차가 큰 사리가, 상현과 하현에는 서로 직각이라 조차가 작은 조금이 된다. 또 달의 적위가 0°가 아니면 부푼 바다가 적도에 대해 기울어져, 중위도에서는 하루 두 번의 만조 높이가 다른 일조 부등이 생기고, 고위도에서는 하루 한 번의 만조만 나타나기도 한다.
적용달의 나이를 0일(삭)에서 7일(상현)로 옮기며 조차가 어떻게 줄어드는지 보자. 다음으로 적위를 20° 넘게 올리고, 위도를 0°, 37°, 70°로 바꾸며 두 만조의 높이 차가 어떻게 되는지 비교해 보자.
판단평형 조석 모델만으로 우리나라 조석을 설명하면 틀린다. 같은 위도인데 인천은 조차가 최대 9 m를 넘고 동해안은 수십 cm에 그치는데, 서해가 얕고 넓은 만이라 조석파가 공명하며 커지기 때문이다. 그래서 실제 조석 예보는 각 항구의 오랜 관측 자료를 분석해 만든다.

확인조건이 달라지면

달이 상현일 때, 같은 항구의 조차는 삭일 때에 비해 어떻게 될까? (평형 조석 모델 기준)

탐구 2

태양이 달보다 지구를 훨씬 세게 당기는데, 왜 조석은 달이 더 크게 만들까?

기조력 · 2GMr/d³의 유도와 평형 조석

지구 중심에서의 거리 d = 60.3 R_⊕

천체 쪽 (정확한 값): —
반대쪽 (정확한 값): —
근사식 2GMR/d³: —
지표 중력에 대한 비: —
지구 중심에서의 인력: —
평형 조석의 조차: —

화살표는 각 지점에서 받는 인력에서 지구 중심이 받는 인력을 뺀 값(기조력)이며, 가장 긴 화살표 길이에 맞춰 늘렸다. 부푼 바다 모양은 크게 과장했다. 평형 조석의 조차 = (3/2)(M/M_⊕)(R/d)³R. M_달 = 7.342×10²² kg, M_태양 = 1.989×10³⁰ kg, R_⊕ = 6371 km.

질문지구 중심에서 태양의 인력은 약 5.9×10⁻³ m/s², 달의 인력은 약 3.3×10⁻⁵ m/s²로 태양이 180배쯤 센다. 그런데 조석을 만드는 힘은 달이 태양의 약 2배이다. 기조력은 인력 자체가 아니라 무엇일까?
복원만유인력에 의한 가속도는 a = GM/d²이다. 지구는 달과 공통 질량 중심을 돌며, 지구 전체가 지구 중심이 받는 인력만큼 함께 가속된다. x ≪ 1이면 (1 − x)⁻² ≈ 1 + 2x이다.
설명지구와 함께 가속되는 좌표계에서 보면, 지표의 물은 그 자리의 인력에서 지구 중심의 인력을 뺀 만큼의 힘만 느낀다. 천체 쪽 지표(거리 d − R)에서는 GM/(d − R)² − GM/d² ≈ 2GMR/d³이 천체 쪽으로, 반대쪽에서도 같은 크기가 천체 반대쪽으로 남는다. 천체와 직각인 지점에서는 GMR/d³이 지구 중심 쪽으로 작용한다. 그래서 바다는 양쪽으로 부풀고, 기조력은 질량에 비례하고 거리의 세제곱에 반비례한다. 달과 태양의 비는 (M_달/M_태양)(d_태양/d_달)³ ≈ 2.2이다.
연결바다가 이 힘과 즉시 평형을 이룬다고 보는 것이 평형 조석론이다. 이 이론은 반일주조, 사리와 조금, 일조 부등을 설명하지만, 예측하는 조차는 달과 태양을 합쳐도 1 m가 안 된다. 실제로는 기조력이 바다에 조석파를 일으키고, 그 파가 바다의 수심과 해안 모양에 따라 전파·반사·공명하며, 전향력 때문에 조차가 0인 무조점 둘레를 돈다. 이렇게 보는 것이 동역학적 조석론이며, 해안마다 조차와 만조 시각이 다른 까닭을 설명한다.
적용‘달’과 ‘태양’을 번갈아 고르고 기조력과 지구 중심의 인력을 각각 비교해 보자. 그다음 거리를 60 R_⊕에서 30 R_⊕로 줄이면 기조력은 몇 배가 되는가? ‘지구 반지름 4배 거리’에서는 천체 쪽과 반대쪽의 기조력이 얼마나 다르며, 근사식은 몇 % 틀리는가?
판단“반대쪽이 부푸는 것은 원심력 때문”이라는 설명은 반쪽만 맞다. 지구가 질량 중심을 도는 운동에서 지구의 모든 점은 같은 크기·방향의 가속도를 가지므로(자전과 별개인 공전 운동), 그 관성력은 어디서나 지구 중심의 인력과 같다. 반대쪽이 부푸는 것은 그곳의 인력이 이 값보다 작기 때문이다. 또 평형 조석은 바다가 지구 전체를 덮고 즉시 반응한다고 본 이상화이므로 실제 조차와 만조 시각을 예측하지 못한다.

확인조건이 달라지면

어떤 행성의 위성이 지금의 달과 질량이 같지만 거리가 절반인 궤도를 돈다면, 그 행성(지구와 같은 크기와 질량)에 작용하는 기조력은 지금 달의 기조력의 몇 배일까?

탐구 3

평형 조석은 1 m도 안 되는데, 왜 어떤 만에서는 조차가 10 m를 넘을까?

동역학적 조석론 · 조석파와 만의 공명

만의 길이 L = 270 km

평균 수심 h = 70 m

조석파 속도 √(gh): —
조석파 파장 λ: —
L / λ: —
만 안쪽 끝 조차: —

한쪽 끝이 막힌 폭이 일정한 수로에 입구 조차 2 m의 조석파가 들어오는 1차원 모식이다. 마찰은 파수에 작은 허수부(8%)를 더해 넣었고, 전향력과 수로 폭의 변화는 넣지 않았다.

질문평형 조석론으로 계산한 조차는 1 m가 채 안 되지만, 캐나다 펀디 만 안쪽은 조차가 15 m 안팎이고 인천도 8 m를 넘는다. 반대로 지중해나 동해의 조차는 수십 cm에 그친다. 무엇이 이 차이를 만들까?
복원파장이 수심보다 훨씬 긴 파는 천해파로, 속도는 √(gh)이다. 한쪽 끝이 막힌 관이나 줄에서는 들어간 파와 반사된 파가 겹쳐 정상파가 생기고, 길이가 파장의 1/4, 3/4…일 때 공명한다.
설명기조력의 주기는 반일주조 약 12.42시간, 일주조 약 24시간이다. 이 힘은 대양에 파장이 수천 km인 조석파를 만들고, 조석파는 천해파로 대륙붕과 만으로 들어온다. 만의 막힌 끝에서 반사된 파가 들어오는 파와 겹치면, 끝에서는 늘 배(최대 진폭)가 된다. 만의 길이가 조석파 파장의 1/4에 가까우면 입구가 마디 근처가 되어 작은 입구 진폭으로도 끝에서 큰 진폭이 생긴다. 이것이 조석 공명이다.
연결평형 조석론은 바다가 기조력에 즉시 맞춰진다고 보지만, 동역학적 조석론은 조석을 수심과 해안 모양에 따라 전파·반사·공명하는 파동으로 본다. 넓은 바다에서는 전향력 때문에 조석파가 해안을 오른쪽(북반구)에 두고 돌며, 가운데에 조차가 거의 0인 무조점이 생긴다. 황해의 반일주조도 무조점을 중심으로 시계 반대 방향으로 돌며, 조석파 진행 방향의 오른쪽인 우리나라 서해안에서 조차가 크다.
적용‘길고 깊은 만’에서 안쪽 끝 조차를 확인하고, 길이를 바꾸며 증폭이 가장 큰 L/λ를 찾자. 같은 만에서 일주조로 바꾸면 증폭은 어떻게 되는가? 수심을 줄이면 공명하는 만의 길이는 길어지나요, 짧아지는가?
판단공명만으로 모든 큰 조차를 설명할 수는 없다. 만의 폭과 수심이 안쪽으로 갈수록 줄어들면 에너지가 좁은 곳에 모여 공명 없이도 조차가 커지고, 전향력과 마찰도 조차 분포를 바꾼다. 이 모식의 마찰 크기는 임의로 정한 값이라, 공명할 때의 증폭 크기는 실제 만과 다르다. 실제 조석 예보는 관측으로 구한 조화 상수를 쓴다.

확인조건이 달라지면

평균 수심 40 m인 좁고 긴 만이 있다. 반일주조(주기 12.42시간)에 가장 크게 공명하려면 만의 길이는 대략 얼마여야 할까?

탐구 4

달이 해마다 3.8 cm씩 멀어지면 지구의 하루는 어떻게 될까?

조석 마찰 · 각운동량 보존과 조석 진화

지구–달 평균 거리 a = 384.4천 km

하루 (태양일): —
한 달 (항성월): —
1년의 날수: —
3.8 cm/년으로 환산한 시간: —
이때 하루가 길어지는 속도: —
자전 각운동량의 비율: —

지구 자전 + 지구–달 공전의 각운동량 합이 일정하다고 본 계산이다(태양의 조석과 지구 공전은 무시). I_⊕ = 0.3307 M_⊕R_⊕², M_⊕ = 5.972×10²⁴ kg, M_달 = 7.342×10²² kg, 현재 항성일 86164 s. 달의 후퇴 속도 3.8 cm/년은 달 레이저 거리 측정값이며, 과거에도 같았다는 보장은 없다.

질문아폴로 우주인이 달에 놓고 온 반사경에 레이저를 쏘아 재면, 달은 해마다 약 3.8 cm씩 지구에서 멀어지고 있다. 달은 왜 멀어지며, 그 대가로 지구에는 어떤 일이 일어날까?
복원외부에서 돌림힘이 없으면 계의 각운동량은 보존된다. 지구 자전의 각운동량은 Iω, 달 공전의 각운동량은 근사적으로 μ√(GMa)로 거리 a가 클수록 크다. 기조력은 바다를 달 쪽과 반대쪽으로 부풀린다.
설명지구는 하루에 한 번 자전하지만 달은 한 달에 한 바퀴 돈다. 부푼 바다는 마찰 때문에 달 아래로 곧바로 돌아오지 못하고 지구 자전에 끌려가, 달보다 조금 앞선 자리에 생긴다. 달은 가까운 팽대부를 뒤로 당겨 지구 자전을 늦추는 돌림힘을 주고, 그 반작용으로 팽대부는 달을 공전 방향 앞으로 당겨 달의 궤도를 키운다. 조석 마찰로 지구 자전의 각운동량이 달의 공전으로 넘어가는 것이다. 바다와 해저의 마찰로 에너지는 열로 사라진다.
연결3.8 cm/년을 각운동량 보존식에 넣으면 하루는 100년에 약 2 ms씩 길어진다. 고대 일식 기록으로 구한 실제 변화는 100년에 약 1.8 ms로, 조석만의 값보다 조금 작다. 빙하가 녹은 뒤 지각이 솟아오르며 지구의 관성 모멘트가 줄어드는 효과가 일부를 상쇄하기 때문이다. 데본기 산호 화석의 하루 성장선은 1년에 약 400개로, 그때 하루가 약 22시간이었음을 보여 준다. 이 과정이 끝까지 이어지면 하루와 한 달의 길이가 같아져 지구도 달에 늘 같은 면을 보이게 된다. 달이 지구에 늘 같은 면을 보이는 것도 같은 조석 진화가 이미 끝났기 때문이다.
적용‘데본기 산호의 하루’를 고르면 1년이 약 400일이 된다. 그 거리까지 3.8 cm/년으로 거슬러 올라가면 몇 년 전인가? 산호 화석의 실제 연대(약 3.8억 년 전)와 비교해 보자. 거리를 늘려 하루와 한 달이 같아지는 곳을 찾자. 그때 하루는 며칠인가?
판단돌림힘은 거리의 6제곱에 반비례하므로, 지금의 조석 마찰 세기를 과거로 그대로 거슬러 계산하면 달은 약 15억 년 전에 지구 바로 곁에 있었어야 한다. 이는 지질 기록과 맞지 않다. 조석 마찰의 세기는 대륙의 배치와 바다의 공명 조건에 따라 크게 달라지며, 지금의 바다는 공명에 가까워 마찰이 유난히 큰 시기로 생각된다. 그래서 ‘환산한 시간’은 대략적인 비교일 뿐 실제 나이가 아니다.

확인조건이 달라지면

만약 달이 지구 자전보다 빠르게 돌아서(공전 주기 < 하루) 팽대부가 달보다 뒤처져 있다면 어떻게 될까?

탐구 5

바닷가마다 물때의 모양이 다른 까닭은 무엇일까?

실험 · 실제 자료 · 조석의 유형과 조화 상수

검조소

M2 + S2 (m): —
K1 + O1 (m): —
F (관측): —
F (평형 조석론): —

날짜 2025년 3월 14일 (UTC)

가로축

조위 NOAA CO-OPS 검증 시간별 조위(2025년 3월, 평균 해수면 기준, 퍼블릭 도메인). 조화 상수는 같은 기관이 발표한 각 검조소의 분조 진폭. 달의 위상은 미국 해군 천문대(USNO) 자료이고, 달의 적위는 천체력 근사식으로 계산한 값이다(오차 약 0.3°). 하루는 세계시(UTC) 0시부터 24시까지로 센다. 그래프에는 지금 고른 검조소의 기록만 나온다.

탐구 문제인천은 하루에 물이 두 번 들고 두 번 나지만, 바다에 따라서는 하루에 한 번만 드는 곳도 있다. 같은 달과 태양이 당기는데 왜 곳마다 조석의 모양이 다를까? 또 사리와 조금은 어디서나 보름달과 반달에 맞춰 올까?
복원기조력은 달(과 태양)이 지구 각 부분을 당기는 힘과 지구 중심을 당기는 힘의 차이이다. 평형 조석론은 바다가 이 힘에 즉시 따라가 달 쪽과 반대쪽에 물이 부푼다고 본다. 그러면 하루에 만조가 두 번(반일주조) 오고, 달의 적위가 클 때는 두 만조 높이가 달라진다(일조 부등).
설계조석 곡선은 여러 주기의 사인파(분조)를 더한 것으로 분석한다. 반일주 분조 M2(12.42시간)·S2(12.00시간)와 일주 분조 K1(23.93시간)·O1(25.82시간)의 진폭으로 형태수 F = (K1 + O1) / (M2 + S2)를 구해 F < 0.25 반일주조, 0.25–1.5 혼합조(주로 반일주), 1.5–3 혼합조(주로 일주), F > 3 일주조로 나눈다. 검조소와 날짜를 바꿔 가며 고조 횟수와 하루 조차를 기록한다.
분석보스턴·앵커리지는 하루 두 번 고조가 거의 같은 높이로 오고, 조차는 삭·망 하루이틀 뒤에 가장 크다(사리). 펜서콜라는 고조가 하루 한 번이고, 조차는 위상이 아니라 달의 적위를 따라간다. 적위가 가장 큰 3월 8일·22일 무렵(반달 무렵)에 조차가 크고, 달이 적도를 지나는 날(삭·망 무렵)에 가장 작다. 같은 북위 30°대인데도 펜서콜라의 F는 평형 조석론 값의 10배가 넘는다.
측정보스턴과 펜서콜라에서 3, 6, 8, 11, 14, 18, 22, 25, 29일의 조차를 각각 기록하고 가로축을 월령, |달의 적위|로 바꿔 보자. 어느 검조소가 월령을, 어느 검조소가 적위를 따르는가? 앵커리지의 조차는 보스턴의 몇 배인가? 샌프란시스코와 우널래스카에서는 이웃한 두 고조(또는 저조)의 높이 차이가 어떤지 확대 그래프로 확인해 보자.
오차·안전평형 조석론은 바다가 대륙에 막히지 않고 순식간에 반응한다고 가정하므로, 실제 조차와 유형을 맞히지 못한다. 실제 조석은 대양 분지를 도는 거대한 파동이다(동역학적 조석론). 지구 자전 때문에 조석파는 조차가 0인 무조점을 중심으로 돌고, 무조점 가까이는 조차가 작으며 멀어질수록, 그리고 만이 공명할수록 커진다. 멕시코만은 반일주 분조가 거의 서로 상쇄되어 일주조가 남고, 앵커리지(쿡만)와 인천(서해)은 공명으로 조차가 8–10 m에 이른다. 날씨(바람, 기압)도 조위를 수십 cm 바꾸므로 하루 자료 하나로 유형을 정하면 틀릴 수 있다. 갯벌 조사를 할 때는 물때표를 확인하고, 사리 때 밀물은 걷는 속도보다 빠르게 들어오니 만조 2시간 전에는 물 밖으로 나와야 한다.

확인조건이 달라지면

어느 검조소의 분조 진폭이 M2 0.20 m, S2 0.05 m, K1 0.40 m, O1 0.30 m이다. 이곳의 조석에 대해 옳은 것은?