정상파와 악기

기타 줄을 튕기면 늘 같은 높이의 음이 난다. 줄을 아무렇게나 튕겨도 아무 진동수로나 떨지 않고, 정해진 몇 가지 진동수로만 떤다. 왜 그럴까? 또 손가락으로 줄을 짚어 짧게 하면 왜 음이 높아지고, 같은 '라' 음이라도 기타와 피아노의 소리가 다르게 들리는 까닭은 무엇일까?

배수 \(n\)

시간

3.5.1정상파

진폭과 파장이 같은 두 파동이 반대 방향으로 진행하며 겹치면, 파형이 어느 쪽으로도 진행하지 않고 제자리에서 진동하는 파동이 생긴다. 이를 정상파라 한다. 정상파에서 전혀 진동하지 않는 점을 마디, 가장 크게 진동하는 점을 배라 한다. 이웃한 마디 사이의 거리는 반파장 \(\dfrac{\lambda}{2}\)이다.

기타 줄을 튕기면 파동이 양 끝에서 반사되며 오가고, 들어가는 파동과 반사된 파동이 겹쳐 정상파가 된다. 그런데 양 끝은 고정되어 있으므로 반드시 마디여야 한다. 줄 길이 \(L\) 안에 반파장이 정수 개 들어가야 하므로 \(L = n\dfrac{\lambda}{2}\)이다.

그림 1에서 \(n\)을 바꾸어 보자. \(n = 1\)이면 가운데 배 하나, \(n = 2\)이면 가운데에 마디가 하나 더 생긴다. 다른 진동수의 파동은 반사를 거듭하며 서로 어긋나 곧 사라지므로, 줄은 이 진동수들로만 떤다. 줄을 짚어 \(L\)을 줄이면 \(f_n\)이 커져 음이 높아진다.¹

3.5.2관악기와 음색

관악기에서는 관 속 공기 기둥에 정상파가 생긴다. 열린 끝은 공기가 자유롭게 움직이는 배가 되고, 막힌 끝은 마디가 된다. 양쪽이 열린 관은 줄처럼 \(f_n = \dfrac{nv}{2L}\)이고, 한쪽이 막힌 관은 \(L = \dfrac{\lambda}{4}\)부터 시작하여 \(f = \dfrac{(2n - 1)v}{4L}\)의 홀수배 진동만 생긴다.

실제 악기는 기본 진동과 여러 배진동을 동시에 낸다. 음의 높이는 기본 진동수가 정하고, 배진동들이 섞인 비율이 음색을 정한다. 그래서 같은 '라'라도 기타와 피아노, 플루트의 소리가 다르게 들린다.

3.5.3예제 풀이

기본 진동에서 파장은 \(2L = 1.3\) m이므로 \(f_1 = \dfrac{260}{1.3} = 200\) Hz이다. 두 번째 배진동(\(n = 2\))은 파장 0.65 m, 진동수 400 Hz이다.

줄을 절반 길이 0.325 m로 짚으면 \(f_1 = \dfrac{260}{2 \times 0.325} = 400\) Hz로 두 배가 된다. 진동수가 두 배인 음은 한 옥타브 위의 음이다. 기타 지판의 12번째 프렛이 줄의 정확히 한가운데에 있는 까닭이다.

아래 탐구 카드에서 현과 관의 배음을 직접 그려 보며 악기가 정해진 음만 내는 까닭을 확인해 보자.

1. 줄의 파동 속력은 \(v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}\)이다(\(T\)는 장력, \(\mu\)는 단위 길이당 질량). 그래서 줄감개로 줄을 팽팽하게 조이면 음이 높아지고, 굵고 무거운 줄일수록 낮은 음을 낸다.