원운동

줄에 공을 매달아 머리 위에서 빙빙 돌리다가 줄이 끊어지면, 공은 바깥쪽으로 튕겨 나갈까, 원을 따라 계속 돌까, 아니면 다른 방향으로 갈까? 또 일정한 빠르기로 도는 공에도 가속도가 있을까? 원운동은 속력이 일정해도 방향이 끊임없이 바뀌는 운동이다.

반지름 (m)

속력 (m/s)

위치 (°)

1.3.1구심 가속도와 구심력

속도는 크기와 방향을 가진 벡터이다. 속력이 일정해도 방향이 바뀌면 속도가 변한 것이고, 따라서 가속도가 있다. 등속 원운동에서 속도의 방향은 접선 방향으로 계속 돌아가며, 이 변화를 만드는 가속도는 원의 중심을 향한다. 이를 구심 가속도라 한다.

구심력은 새로운 종류의 힘이 아니라, 원운동을 유지하게 하는 알짜힘의 역할을 부르는 이름이다. 줄에 매단 공에서는 줄의 장력이, 커브를 도는 자동차에서는 타이어와 도로 사이의 마찰력이, 지구 둘레를 도는 달에서는 만유인력이 구심력 역할을 한다. 그림 1에서 속력을 두 배로 하면 구심 가속도는 네 배가 된다.

1.3.2줄이 끊기면

그런데 줄이 끊기는 순간 구심력이 사라지면 공에는 수평 방향의 힘이 없어진다. 관성에 따라 공은 그 순간의 속도, 곧 접선 방향으로 곧게 날아간다. 바깥쪽(원의 중심에서 멀어지는 방향)으로 튕겨 나가는 것처럼 느끼는 것은 돌고 있는 사람의 입장에서 본 착각이다. 이를 원심력이라 부르지만, 바깥에서 보면 그런 힘은 없고 공이 곧게 가려는 관성만 있다.¹

1.3.3예제 풀이

구심력은 마찰력이 맡으므로 \(\dfrac{mv^2}{r} \le \mu mg\), 곧 \(v \le \sqrt{\mu g r}\)이다. \(v_{\max} = \sqrt{0.8 \times 9.8 \times 50} = \sqrt{392} \approx 19.8\) m/s, 곧 약 71 km/h이다.

한편 비가 와서 마찰 계수가 0.4이면 \(\sqrt{196} = 14\) m/s, 곧 약 50 km/h로 줄어든다. 마찰 계수가 절반이 되어도 최대 속력은 \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)배, 약 70%로만 준다. 그래도 맑은 날처럼 70 km/h로 들어가면 필요한 구심력을 마찰력이 감당하지 못해 자동차가 접선 방향, 곧 커브 바깥쪽으로 미끄러진다. 도로의 커브 길 바깥쪽을 높게 만드는 것도 구심력을 보태기 위해서이다.

아래 탐구 카드에서 줄이 끊긴 공의 방향과, 우주정거장 안이 무중력처럼 보이는 까닭을 직접 따져 보자.

1. 원심력처럼 가속하는 관찰자가 느끼는 겉보기 힘을 관성력이라 한다. 돌고 있는 놀이 기구 안에서 몸이 바깥으로 쏠리는 느낌이 그 예이다.