기본량과 단위

힘의 단위 N(뉴턴), 에너지의 단위 J(줄), 압력의 단위 Pa(파스칼)처럼 과학에는 이름이 다른 단위가 아주 많다. 이 단위들을 모두 따로 외워야 할까? 아니면 몇 개의 기본 단위를 조립해서 만든 것일까?

단위 고르기

1.2.1기본량과 유도량

속력은 거리를 시간으로 나눈 양이다. 그래서 속력의 단위는 따로 정하지 않아도 m를 s로 나눈 m/s가 된다. 이렇게 다른 양들의 곱과 나눗셈으로 정해지는 양을 유도량이라 하고, 그 단위를 유도 단위라 한다.

이런 식으로 거슬러 올라가면 더 이상 다른 양으로 나눌 수 없는 몇 개의 양에 이른다. 이것을 기본량이라 한다. 국제단위계(SI)는 기본량을 7개로 정했다. 길이(m), 질량(kg), 시간(s), 전류(A), 온도(K), 물질의 양(mol), 광도(cd)이다.

2019년부터 이 7개 단위는 모두 빛의 속력, 플랑크 상수 같은 자연의 상수에 값을 정해 두는 방식으로 정의된다.¹ 그래서 언제 어디서나 같은 기준을 다시 만들 수 있다.

1.2.2단위 조립하기

힘은 질량에 가속도를 곱한 양이다. 가속도는 속력을 시간으로 나눈 것이므로 단위가 \(\text{m/s}^2\)이고, 따라서 힘의 단위는 \(\text{kg} \cdot \text{m/s}^2\)이다. 이것에 붙인 이름이 1 N이다. 즉 1 N은 질량 1 kg인 물체를 \(1\ \text{m/s}^2\)으로 가속하는 힘이다.

같은 방법으로 일과 에너지는 힘에 거리를 곱하므로 \(1\ \text{J} = 1\ \text{N} \cdot \text{m} = 1\ \text{kg} \cdot \text{m}^2/\text{s}^2\)이다. 압력은 힘을 넓이로 나누므로 \(1\ \text{Pa} = 1\ \text{N/m}^2 = 1\ \text{kg}/(\text{m} \cdot \text{s}^2)\)이다. 그림 1에서 단위를 바꾸어 가며 kg, m, s의 지수가 어떻게 달라지는지 보자.

1.2.3단위로 식을 검사하기

단위가 조립된 것이라면, 등식의 양변은 언제나 같은 조합이어야 한다. 이것을 이용하면 식이 맞는지 미리 검사할 수 있다. 가령 운동 에너지가 \(\tfrac{1}{2}mv^2\)인지 \(\tfrac{1}{2}mv\)인지 헷갈리면 단위를 보면 된다. \(mv^2\)의 단위는 \(\text{kg} \cdot \text{m}^2/\text{s}^2\)으로 J과 같지만, \(mv\)의 단위는 \(\text{kg} \cdot \text{m/s}\)로 다르다.

1.2.4예제 풀이

\(T\)의 단위는 s이다. \(L\)과 \(g\)로 s를 만들어야 한다. \(\dfrac{L}{g}\)의 단위는 \(\dfrac{\text{m}}{\text{m/s}^2} = \text{s}^2\)이므로, 제곱근을 씌우면 \(\sqrt{\dfrac{L}{g}}\)의 단위가 s가 된다. 따라서 \(T\)는 \(\sqrt{\dfrac{L}{g}}\)에 비례한다.

실제 공식은 \(T = 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}\)이다. 단위만으로는 앞의 수 \(2\pi\)까지 알 수 없지만, 줄을 4배로 늘리면 주기가 2배가 된다는 것은 정확히 맞혔다. 길이 1 m인 진자의 주기는 \(2\pi\sqrt{1/9.8} \approx 2.0\)초이고, 4 m이면 약 4.0초이다.

단위를 따지는 일은 공식을 외우는 것보다 먼저 할 수 있는 확인이다. 아래 탐구 카드에서 단위를 직접 조립하고, 단위만으로 공식의 꼴을 맞혀 보자.

1. 킬로그램은 1889년부터 130년 동안 프랑스에 보관된 백금-이리듐 원기의 질량이었다. 2019년부터는 플랑크 상수 \(h = 6.626\,070\,15 \times 10^{-34}\ \text{J} \cdot \text{s}\)를 정확한 값으로 정해 킬로그램을 정의한다.