케플러 법칙과 태양계 천체의 운동

1610년 갈릴레이는 망원경으로 목성 둘레를 도는 위성 네 개를 발견했다. 그 뒤 천문학자들은 이 위성들이 목성을 한 바퀴 도는 시간과 목성에서 떨어진 거리를 정밀하게 쟀다. 목성까지 가서 저울에 올려 볼 수도 없는데, 이 두 값만으로 목성의 질량을 구할 수 있을까? 같은 방법으로 태양과 지구의 질량도 잴 수 있을까?

위성 (0 이오 … 3 칼리스토)

1.3.1케플러 제3법칙의 일반화

질량 \(M\)인 천체 둘레를 반지름 \(a\)의 원 궤도로 도는 작은 천체를 생각하자. 만유인력이 구심력 역할을 하므로 \(\dfrac{GMm}{a^2} = m\left(\dfrac{2\pi}{T}\right)^2 a\)이다. 작은 천체의 질량 \(m\)은 양변에서 지워진다. 그래서 위성이 무겁든 가볍든 같은 거리에서는 같은 주기로 돈다.

그림 1에서 위성을 바꾸어 보자. 이오는 42만 km 거리를 1.77일에, 칼리스토는 188만 km 거리를 16.7일에 돈다. 어느 위성으로 계산해도 목성의 질량은 약 \(1.9 \times 10^{27}\) kg, 지구의 약 318배로 같게 나온다.¹

1.3.2태양계 천체의 운동

같은 원리로 지구의 공전 궤도(1 AU, 1년)에서 태양의 질량을, 달의 궤도에서 지구의 질량을 구한다. 그리고 행성이 하늘에서 가끔 뒤로 가는 것처럼 보이는 역행은, 공전 속도가 다른 지구가 외행성을 추월할 때 생기는 겉보기 현상이다. 케플러 법칙은 혜성, 소행성, 인공위성처럼 태양계의 모든 천체에 적용된다.

1.3.3예제 풀이

주기는 \(1.77 \times 86\,400 \approx 1.53 \times 10^5\) s이다. \(M = \dfrac{4\pi^2 \times (4.22 \times 10^8)^3}{6.67 \times 10^{-11} \times (1.53 \times 10^5)^2} \approx \dfrac{2.97 \times 10^{27}}{1.56} \approx 1.9 \times 10^{27}\) kg이다.

달의 주기는 \(27.3 \times 86\,400 \approx 2.36 \times 10^6\) s이므로 \(M = \dfrac{4\pi^2 \times (3.84 \times 10^8)^3}{6.67 \times 10^{-11} \times (2.36 \times 10^6)^2} \approx 6.0 \times 10^{24}\) kg이다. 목성은 지구의 약 320배이다. 이오와 달은 거리가 비슷한데 이오가 15배 이상 빨리 도는 것도 목성이 그만큼 무겁기 때문이다. 즉 망원경과 시계만으로 행성을 저울에 단 셈이다.

아래 탐구 카드에서 행성 자료로 케플러 제3법칙을 확인하고, 위성의 궤도로 목성의 질량을 재고, 행성의 역행을 설명해 보자.

1. 위성이 없는 수성과 금성의 질량은, 그 곁을 지나간 탐사선의 궤도가 휘는 정도로 정밀하게 쟀다.