행성의 겉보기 운동과 회합 주기

화성은 대부분의 해에 어두운 붉은 점이지만, 2년 2개월쯤마다 한 번 밤새 하늘에 떠서 가장 밝은 별보다도 밝게 빛난다. 그 무렵 화성은 별자리 사이를 평소와 반대 방향으로 거꾸로 걷는다. 화성의 공전 주기는 1.88년인데, 왜 밝아지는 간격은 2년이 넘을까? 그리고 그 간격만 재면 화성이 태양에서 얼마나 멀리 있는지도 알 수 있을까?

외행성의 공전 주기 (년)

3.2.1회합 주기

지구에서 보아 외행성이 태양의 정반대쪽에 오는 때를 충이라 한다. 충일 때 외행성은 해가 질 때 떠서 해가 뜰 때 지므로 밤새 보이고, 지구와 가장 가까워 가장 밝다. 그런데 지구도 태양 둘레를 돌므로, 다음 충이 오려면 빨리 도는 지구가 느리게 도는 화성을 한 바퀴 따라잡아야 한다. 운동장 트랙에서 빠른 사람이 느린 사람을 다시 앞지를 때까지의 시간과 같다. 이렇게 같은 배치가 되풀이되는 간격을 회합 주기라 한다.

그림 1에서 공전 주기를 바꾸어 보자. 화성은 \(P = 1.88\)년이므로 \(\dfrac{1}{S} = 1 - \dfrac{1}{1.88} \approx 0.468\), 곧 \(S \approx 2.14\)년이다. 그래서 약 2년 2개월마다 충이 온다. 목성은 11.9년이라 회합 주기가 약 1.09년, 토성은 약 1.04년으로 거의 해마다 충이 온다. 지구와 공전 주기가 비슷한 행성일수록 따라잡는 데 오래 걸린다. 충 무렵에 지구가 화성을 앞질러 지나가므로, 그때 화성이 별자리 사이를 거꾸로 움직이는 역행이 보인다.¹

3.2.2각만 재어 궤도 크기 구하기

회합 주기는 지구에서 직접 잴 수 있다. 회합 주기에서 행성의 공전 주기를 구하면, 케플러 제3법칙 \(a^3 = P^2\)(\(a\)는 AU, \(P\)는 년)으로 궤도의 긴반지름도 구할 수 있다. 내행성은 다른 방법도 쓴다. 금성이 태양에서 가장 멀리 벌어져 보이는 최대 이각에서는 지구–금성–태양이 직각 삼각형을 이루므로, 그 각을 \(\theta\)라 하면 금성의 궤도 반지름은 \(\sin\theta\) AU이다. 금성의 최대 이각은 약 46°라서 궤도 반지름은 약 0.72 AU이다. 코페르니쿠스는 이런 방법으로 행성들의 상대적인 거리를 처음 계산했다.

3.2.3예제 풀이

회합 주기는 \(398 \div 365.25 \approx 1.090\)년이다. \(\dfrac{1}{P} = 1 - \dfrac{1}{1.090} \approx 1 - 0.917 = 0.0826\)이므로 \(P \approx 12.1\)년이다.

케플러 제3법칙에서 \(a = P^{2/3} = 12.1^{2/3} \approx 5.3\) AU이다. 이것은 목성이다. 실제 값 11.86년, 5.20 AU와 가깝다. 회합 주기가 1년에 가까울 때는 작은 측정 오차가 공전 주기에 크게 번지므로, 여러 번의 충을 평균해 회합 주기를 정밀하게 재야 한다. 즉 망원경으로 거리를 직접 재지 않고도, 행성이 같은 자리로 돌아오는 간격만으로 태양계의 크기를 그릴 수 있다.

아래 탐구 카드에서 행성의 역행을 지구와 행성의 위치로 설명하고, 회합 주기와 이각으로 궤도의 크기를 구해 보자.

1. 화성은 충마다 지구와의 거리가 다르다. 화성의 궤도가 꽤 찌그러져 있어, 15~17년마다 오는 대접근 때는 약 5600만 km까지 가까워지고, 먼 충 때는 1억 km가 넘는다.