구심력 측정

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유리관에 줄을 꿰어 위쪽 끝에는 10 g짜리 고무마개를, 아래쪽 끝에는 100 g짜리 추를 매달았다. 유리관을 쥐고 마개를 머리 위로 돌리면서 추가 오르내리지 않게 빠르기를 맞추면, 줄이 마개를 당기는 힘은 언제나 추의 무게와 같다. 회전 반지름 0.5 m에서 10바퀴에 4.5 s가 걸렸다. 줄을 풀어 반지름을 1 m로 늘리면 같은 추를 버티기 위해 더 빨리 돌려야 할까, 더 천천히 돌려야 할까?

회전 반지름 (m)

그림 1. 추의 무게(0.98 N)가 10 g 마개의 구심력이 될 때, 회전 반지름에 따른 주기. 반지름이 네 배가 되면 주기는 두 배가 된다.

먼저 알아야 할 것등속 원운동과 구심 가속도 \(v^2/r\), 뉴턴 운동 제2법칙, 반응 시간과 반복 측정(중력 가속도 측정).

2.5.1원운동에는 안쪽으로 당기는 힘이 필요하다

힘을 받지 않는 물체는 곧게 나아가므로, 마개가 원을 그리려면 무언가가 마개를 원의 중심 쪽으로 계속 당겨야 한다. 이 힘이 구심력이다. 속력 \(v\)로 반지름 \(r\)인 원을 도는 물체의 구심 가속도는 \(v^2/r\)이므로, 질량 \(m\)인 마개에 필요한 구심력은 \(mv^2/r\)이다. 이 장치에서는 줄의 장력이 구심력이 되고, 추가 멈춰 있으면 장력은 추의 무게 \(Mg\)와 같다. 그래서 추의 무게로 구심력을 정해 두고, 그 힘으로 마개가 얼마나 빨리 도는지를 재어 식을 확인한다.

정리 2.5.1 구심력과 주기

한 바퀴의 주기를 \(T\)라 하면 \(v = 2\pi r/T\)이므로 구심력은 \[F = \frac{mv^2}{r} = \frac{4\pi^2 m r}{T^2}\]이다. \(F = Mg\)로 일정하면 \(T^2 = \dfrac{4\pi^2 m}{Mg}\,r\)로, 주기의 제곱이 반지름에 비례한다.

그림 1에서 반지름을 바꾸어 보자. 반지름이 커지면 같은 구심력으로는 속력이 \(\sqrt{r}\)에 비례해 조금만 커지지만, 돌아야 할 둘레는 \(r\)에 비례해 늘어난다. 그래서 한 바퀴에 걸리는 시간이 길어진다. 반지름 0.5 m에서 속력은 7.0 m/s, 주기는 0.45 s이고, 1 m에서는 속력 9.9 m/s, 주기 0.63 s이다. 처음 질문의 답은 더 천천히 돌려야 한다는 것이다. 속력은 늘지만 한 바퀴는 더 오래 걸린다.

2.5.2짧은 주기를 정확하게 재기

주기 0.45 s를 초시계로 한 번에 재면 반응 시간의 흔들림 0.05 s가 11%나 된다. 10바퀴를 한꺼번에 재면 4.5 s에 대해 같은 0.05 s이므로 오차가 1%로 준다. 반지름은 마개의 중심에서 유리관 끝까지 재는데, 돌리는 동안 줄이 미끄러지지 않도록 유리관 아래 줄에 집게를 물려 표시해 둔다. 또 줄이 수평이 아니라 아래로 처지면 실제 회전 반지름이 줄의 길이보다 짧아지므로, 빠르게 돌려 줄을 거의 수평으로 유지한다. 유리관과 줄 사이의 마찰도 장력을 추의 무게와 다르게 만드는 원인이다.¹

그림 2. 반지름이 두 배가 될 때마다 \(T^2\)도 두 배가 된다. \(T^2\)을 \(r\)에 대해 그린 직선의 기울기가 \(4\pi^2 m/(Mg)\)이다.

2.5.3예제 풀이

예제 2.5.2

그림 2의 측정값으로 \(T^2\)–\(r\) 직선의 기울기를 구하고, 이 값에서 추의 무게를 거꾸로 계산하여 실제 추의 무게 0.98 N과 비교하여라. 마개의 질량은 10 g이다.

세 점은 원점을 지나는 직선 위에 놓이고, 기울기는 \(0.410/1.00 \approx 0.41\) s²/m이다. 기울기가 \(4\pi^2 m/F\)이므로 \(F = 4\pi^2 m / 0.41 = 39.5 \times 0.010 / 0.41 \approx 0.96\) N이다. 실제 추의 무게 \(0.100 \times 9.8 = 0.98\) N과 2% 차이로 맞는다.

계산한 구심력이 추의 무게보다 조금 작게 나왔다. 줄이 아래로 처져 실제 반지름이 잰 길이보다 짧았거나, 유리관의 마찰이 추를 받쳐 장력이 무게보다 작았을 수 있다. 줄이 수평에서 각 \(\phi\)만큼 처지면 장력의 수평 성분만 구심력이 되므로 \(\cos\phi\)만큼 줄어드는데, 2%의 차이는 \(\phi \approx 11°\)에 해당한다. 같은 실험을 마개의 질량이나 추의 무게를 바꾸어 되풀이하면, 기울기가 \(m\)에 비례하고 \(Mg\)에 반비례하는지도 확인할 수 있다.

아래 탐구 카드에서 반지름과 추의 무게를 바꾸어 가며 10바퀴의 시간을 재고, 구심력의 식이 맞는지 확인해 보자.

구심력의 식 \(mv^2/r\)은 1659년 하위헌스가 처음 구해 1673년에 발표했다. 뉴턴은 같은 식을 따로 얻어, 달이 지구를 도는 데 필요한 구심력과 사과를 떨어뜨리는 중력이 같은 힘이라는 것을 보이는 데 썼다.

마무리

원운동에는 중심 쪽으로 \(mv^2/r = 4\pi^2 mr/T^2\)의 구심력이 필요하고, 이 장치에서는 추의 무게가 줄의 장력을 통해 그 힘을 준다. 구심력이 일정하면 주기의 제곱이 반지름에 비례하므로, 여러 반지름에서 10바퀴의 시간을 재어 \(T^2\)–\(r\) 직선의 기울기로 식을 확인한다. 처음 질문에서 반지름을 두 배로 늘리면 속력은 \(\sqrt{2}\)배가 되지만 주기도 \(\sqrt{2}\)배로 길어지므로, 더 천천히 돌려야 같은 추를 버틴다.

탐구 1

추의 무게만큼 당기면 고무마개는 얼마나 빨리 돌까?

실험 · 등속 원운동 · 구심력 · 주기 측정

줄 길이 L = 0.60 m

고무마개 m = 20 g

매단 추 M = 200 g

줄과 관 사이 마찰 L을 마개 중심이 아니라 매듭까지 잼

그래프

맞춤 기울기: —
기대 기울기: —
마개 속력 (마지막): —

초시계는 0.01 s 단위지만 누르는 반응 시간 때문에 한 번에 ±0.1 s쯤 오차가 난다. 10바퀴 시간을 재서 10으로 나눈다. 관 아래 줄에 끼운 클립이 관 끝에 닿지 않고 바로 아래에 머물도록 돌리는 빠르기를 맞추면, 줄 길이 L이 일정하게 유지된다.

탐구 문제원운동을 하려면 원의 중심 쪽으로 힘(구심력)이 필요하다. 구심력 F = mv²/r = m·4π²r/T²는 정말 질량, 반지름, 주기와 이런 관계일까? 힘을 정해 두고 주기를 재서 확인해 본다.
복원속력 v로 반지름 r인 원을 도는 물체의 가속도는 중심을 향하고 크기는 v²/r = ω²r이다. 한 바퀴 도는 시간 T와 ω는 ω = 2π/T로 이어진다. 줄이 마개를 당기는 장력이 이 가속도를 만든다.
설계줄을 유리관(또는 볼펜 대롱)에 꿰어 위에는 고무마개, 아래에는 추 M을 단다. 관이 매끄러우면 줄의 장력은 Mg이다. 조작 변인은 L, m, M 중 하나이고 나머지는 통제한다. 종속 변인은 주기 T이다. 줄은 마개의 무게 때문에 조금 아래로 처지지만, 장력이 마개에 주는 수평 성분과 반지름이 같은 비율(cos φ)로 줄어 Mg = m·4π²L/T²가 줄 길이 L로 그대로 성립한다.
분석각 기록에서 m·4π²L/T²를 계산해 가로축에, Mg를 세로축에 놓으면 기울기 1인 직선에 놓여야 한다. m과 M을 고정하고 L만 바꾸면 T²–L이 원점을 지나는 직선(기울기 4π²m/Mg)이고, M만 바꾸면 T²–1/M이 직선이다. 기울기가 1에서 벗어나는 방향을 보면 계통 오차를 짐작할 수 있다.
측정먼저 L만 0.3 m에서 1.0 m까지 다섯 번 이상 바꿔 재고, 다음에는 M만 바꿔 재자. 그다음 ‘L을 매듭까지 잼’을 켜고 다시 재면 Mg–mω²L 그래프의 기울기는 1보다 커지나요, 작아지는가? ‘마찰’을 켜면 점들은 어떻게 되는가?
오차·안전관과 줄 사이 마찰은 돌리는 상태에 따라 장력을 늘리기도 줄이기도 해서 점을 흩어 놓는다. 관 입구를 매끄럽게 다듬거나 테이프로 감싸 줄이고, 여러 번 재어 평균을 낸다. 마개 중심까지가 아니라 매듭까지 잰 L은 늘 짧으므로 구심력을 작게 계산하는 계통 오차이다. 줄이 끊기거나 마개가 빠지면 접선 방향으로 날아가니, 보안경을 쓰고 주변 사람과 2 m 이상 떨어져 머리 위 높이에서 돌린다. 유리관은 가장자리를 테이프로 감싸 깨지거나 손을 베지 않게 한다.

확인조건이 달라지면

추 M과 고무마개 m은 그대로 두고 줄 길이 L을 4배로 늘렸다. 클립 위치를 유지하려면 주기는 몇 배가 되어야 할까?