중력 가속도 측정

전자석에 쇠구슬을 붙여 두었다가 전류를 끊는 순간 시계가 출발하고, 구슬이 바닥의 광센서를 지나면 시계가 멈추게 했다. 시계는 0.0001 s까지 읽는다. 높이 0.4 m, 0.8 m, 1.2 m, 1.6 m에서 떨어뜨려 \(g = 2h/t^2\)으로 계산하니 9.15, 9.33, 9.41, 9.47 m/s²가 나왔다. 시계가 이렇게 정밀한데 값이 모두 9.8보다 작고, 높을수록 커진다. 무엇이 잘못된 것일까?

낙하 높이 (m)

2.4.1시간이 짧아서 어렵다

정지 상태에서 떨어진 물체는 \(h = \tfrac{1}{2}gt^2\)만큼 내려가므로 \(g = 2h/t^2\)이다. 높이는 줄자로 1 mm까지 쉽게 재지만, 1 m를 떨어지는 데 걸리는 시간은 0.45 s밖에 되지 않는다. 사람이 보고 초시계를 누르는 반응은 매번 0.05 s쯤 흔들리고, 이 흔들림은 0.45 s의 11%이다. 시간은 제곱으로 들어가므로 \(g\)의 상대 오차는 그 두 배인 22%가 된다. 그림 1에서 높이를 바꾸어 보자. 2 m로 높여도 시간은 0.64 s로 늘 뿐이어서 초시계로는 15%를 넘는다. 광센서처럼 0.001 s 안쪽으로 재는 장치를 써야 오차가 1%보다 작아진다.

정밀한 시계로도 해결되지 않는 오차가 있다. 전자석의 전류를 끊어도 쇠구슬에 남은 자기 때문에 구슬은 아주 잠깐 붙어 있다가 떨어진다. 시계는 전류를 끊는 순간 출발하므로, 잰 시간에는 늘 이 지연이 더해진다. 매번 같은 방향으로 생기는 계통 오차이므로 여러 번 재어 평균을 내도 사라지지 않는다. 한 높이만으로는 이 지연과 낙하 시간을 구별할 수 없지만, 여러 높이에서 재어 직선을 맞추면 지연은 절편으로 따로 떨어져 나온다.¹

2.4.2여러 높이를 한 그래프에

그림 2는 처음 질문의 측정값이다. 높이마다 \(2h/t^2\)을 계산하면 값이 높이에 따라 달라지는데, 이것이 계통 오차의 신호이다. 시간에 일정한 지연이 섞이면, 짧은 낙하일수록 그 지연이 차지하는 비율이 커서 \(g\)가 더 작게 계산된다. 높이에 따라 값이 한쪽으로 움직이면 측정 방법 어딘가에 일정한 어긋남이 있다고 의심해야 한다.

2.4.3예제 풀이

기울기가 \(\sqrt{2/g}\)이므로 \(g = 2/0.4517^2 = 2/0.2040 \approx 9.80\) m/s²이다. 절편 0.0100 s가 전자석이 구슬을 놓기까지의 지연이다. 높이 0.40 m의 시간에서 지연을 빼면 \(0.2957 - 0.0100 = 0.2857\) s이고, \(2 \times 0.40 / 0.2857^2 = 0.80/0.08163 \approx 9.80\) m/s²로 다른 높이의 값과도 같아진다.

지연 0.01 s는 시계의 눈금 0.0001 s보다 백 배나 크다. 그래서 시계를 더 정밀하게 바꾸어도 한 높이로 잰 \(g\)는 나아지지 않고, 높이 1.6 m에서도 3% 넘게 작게 나온다. 측정의 정밀도와 정확도가 다르다는 것이 여기서 그대로 드러난다. 여러 높이에서 재어 직선의 기울기를 쓰는 방법은 이런 일정한 어긋남을 절편으로 떼어 내어, 기울기에 담긴 물리량을 정확하게 남긴다.

아래 탐구 카드에서 여러 높이에서 낙하 시간을 재어 그래프를 그리고, 기울기로 \(g\)를 구해 보자.

1. 오늘날 가장 정밀한 중력계는 진공 속에서 떨어지는 거울의 위치를 레이저 간섭으로 재어, \(g\)를 10억분의 1 수준까지 구한다. 이 정도면 측정기를 1 cm만 높여도 줄어드는 \(g\)를 알아챌 수 있다.