케플러 법칙과 만유인력
본문수성은 88일, 지구는 1년, 목성은 약 12년, 토성은 약 29년 만에 태양을 한 바퀴 돈다. 태양에서 멀수록 공전 주기가 길다. 그런데 거리가 2배이면 주기도 2배일까? 케플러는 수십 년 동안 쌓인 관측 자료에서 정확한 규칙을 찾아냈고, 뉴턴은 그 규칙에서 만유인력의 법칙을 이끌어 냈다.
1.4.1케플러의 세 법칙
케플러는 브라헤가 평생 기록한 화성의 위치 자료를 분석하여 행성 운동의 세 법칙을 찾았다. 제1법칙(타원 궤도 법칙)은 행성이 태양을 한 초점으로 하는 타원 궤도를 돈다는 것이다. 제2법칙(면적 속도 일정 법칙)은 태양과 행성을 잇는 선분이 같은 시간 동안 같은 넓이를 쓸고 지나간다는 것이다. 그래서 행성은 태양에 가까울 때 빠르고, 멀 때 느리다.
행성의 공전 주기 \(T\)의 제곱은 궤도 긴반지름 \(a\)의 세제곱에 비례한다. \[T^2 \propto a^3\] 지구를 기준(1 AU, 1년)으로 하면 \(T^2 = a^3\)이다.
그림 1에서 \(a\)를 바꾸어 보자. 거리가 4배이면 주기는 \(4^{3/2} = 8\)배이다. 로그를 취하면 \(\log T = \dfrac{3}{2}\log a\)이므로, 로그 그래프에서 행성들은 기울기 \(\dfrac{3}{2}\)인 직선 위에 놓인다.
1.4.2제3법칙에서 만유인력으로
뉴턴은 행성이 원 궤도를 돈다고 단순하게 보고, 구심력이 어떤 꼴이어야 제3법칙이 나오는지 따졌다. 구심력 \(F = \dfrac{mv^2}{r}\), \(v = \dfrac{2\pi r}{T}\)이고 \(T^2 = kr^3\)이면 \[F = \frac{4\pi^2mr}{T^2} = \frac{4\pi^2}{k} \cdot \frac{m}{r^2}\] 이다. 행성을 당기는 힘은 거리의 제곱에 반비례해야 한다. 뉴턴은 이 힘이 사과를 떨어뜨리는 힘과 같다고 보고, 모든 물체 사이에 작용하는 만유인력의 법칙을 세웠다.1
질량 \(m_1\), \(m_2\)인 두 물체가 거리 \(r\)만큼 떨어져 있으면 서로 \[F = G\frac{m_1m_2}{r^2},\quad G \approx 6.67 \times 10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2\] 의 힘으로 끌어당긴다.
1.4.3예제 풀이
화성의 궤도 긴반지름은 약 1.52 AU이다. 화성의 공전 주기를 구하여라. 또 공전 주기가 8년인 소행성의 궤도 긴반지름을 구하여라.
\(T = a^{3/2} = 1.52^{1.5} = 1.52 \times \sqrt{1.52} \approx 1.52 \times 1.233 \approx 1.87\)년이다. 실제 값 1.88년과 거의 같다.
\(T = 8\)이면 \(a^3 = 64\)이므로 \(a = 4\) AU이다. 화성과 목성 사이의 소행성대에 해당하는 거리이다. 제3법칙은 행성뿐 아니라 같은 중심 천체를 도는 모든 천체에 성립하므로, 목성의 위성이나 지구의 인공위성에도 각각의 비례 상수로 쓸 수 있다.
아래 탐구 카드에서 행성 자료로 제3법칙을 확인하고, 관측에서 만유인력까지의 역사를 따라가 보자.
- 뉴턴은 달의 구심 가속도가 지표의 중력 가속도의 약 \(\dfrac{1}{3600}\)이라는 것을 계산했다. 달까지의 거리가 지구 반지름의 약 60배이므로 \(60^2 = 3600\), 역제곱 법칙과 맞아떨어졌다.
케플러는 관측 자료에서 타원 궤도, 면적 속도 일정, 그리고 \(T^2 \propto a^3\)인 조화 법칙을 찾았다. 뉴턴은 제3법칙이 성립하려면 행성을 당기는 힘이 거리의 제곱에 반비례해야 함을 보이고 만유인력의 법칙 \(F = G\frac{m_1m_2}{r^2}\)을 세웠다. 그래서 처음 질문의 규칙은 '주기의 제곱이 거리의 세제곱에 비례한다'이며, 거리가 2배이면 주기는 약 2.8배이다.