탈출 속도와 우주선 발사

공을 위로 던지면 빠를수록 높이 올라가지만 결국 떨어진다. 그런데 높이 올라갈수록 지구의 중력이 약해진다. 그렇다면 어떤 속력 이상으로 던지면 중력이 너무 약해져 다시는 떨어지지 않는 것은 아닐까? 그 속력은 얼마이며, 달에 대기가 거의 없는 것과는 어떤 관계가 있을까?

천체 (0 지구, 1 달, 2 화성)

발사 속력 (탈출 속도의 %)

1.5.1만유인력에 의한 퍼텐셜 에너지

지표 근처에서는 중력 퍼텐셜 에너지를 \(mgh\)로 썼다. 그러나 멀리 가면 중력이 거리의 제곱에 반비례하여 약해지므로 이 식은 맞지 않는다. 지구 중심에서 거리 \(r\)인 곳의 중력 퍼텐셜 에너지는 무한히 먼 곳을 0으로 잡아 \(U = -\dfrac{GMm}{r}\)이다. 음수인 것은 무한히 먼 곳까지 가려면 에너지를 더 주어야 하기 때문이다.

탈출 속도보다 느리게 쏘면 에너지가 음수라 어느 높이에서 멈추고 떨어진다. 에너지 보존 \(\dfrac{1}{2}mv^2 - \dfrac{GMm}{R} = -\dfrac{GMm}{R + h}\)에서 최고 높이는 \(h = \dfrac{Rv^2}{v_{\text{탈출}}^2 - v^2}\)이다. 그림 1에서 발사 속력을 탈출 속도의 70%로 두면 높이는 반지름의 약 0.96배, 90%이면 약 4.3배이다. 100%에 가까워질수록 높이가 한없이 커진다.

1.5.2로켓과 대기

실제 로켓은 한꺼번에 탈출 속도로 쏘는 것이 아니라 연료를 태워 가스를 뒤로 내뿜으며 계속 가속한다. 가스가 뒤로 받는 운동량만큼 로켓이 앞으로 운동량을 얻는다. 지구 둘레를 도는 데는 약 7.9 km/s, 지구를 벗어나는 데는 약 11.2 km/s가 필요하다.

기체 분자는 온도에 따라 빠르게 움직인다. 달은 탈출 속도가 2.4 km/s로 낮아, 햇빛에 데워진 기체 분자 가운데 빠른 것들이 오랜 세월 동안 하나둘 빠져나갔다. 그래서 달에는 대기가 거의 남아 있지 않다.¹

1.5.3예제 풀이

\(v_{\text{탈출}} = \sqrt{\dfrac{2 \times 6.67 \times 10^{-11} \times 6.0 \times 10^{24}}{6.4 \times 10^6}} = \sqrt{1.25 \times 10^8} \approx 1.12 \times 10^4\) m/s, 곧 약 11.2 km/s이다.

8 km/s로 쏘면 \(h = \dfrac{6400 \times 8^2}{11.2^2 - 8^2} = \dfrac{409\,600}{61.4} \approx 6670\) km이다. 지구 반지름만큼 올라간 셈이다. 같은 속력으로 수평으로 쏘면 지구 둘레를 도는 궤도에 오를 수 있다. 수직이냐 수평이냐에 따라 같은 속력도 전혀 다른 결과를 낳는다.

아래 탐구 카드에서 로켓이 무엇을 밀고 나아가는지, 달에 대기가 없는 까닭을 직접 따져 보자.

1. 기체 분자의 평균 속력이 탈출 속도의 약 6분의 1을 넘으면 수십억 년 동안 대부분 빠져나간다고 어림한다. 지구도 가장 가벼운 수소와 헬륨은 대기에 거의 남아 있지 않다.