운동량 보존

0.50 kg 수레와 1.00 kg 수레를 압축한 용수철을 사이에 두고 붙여 놓았다. 고정 핀을 뽑자 두 수레가 반대 방향으로 튕겨 나갔고, 양쪽의 포토게이트가 수레 위 2.0 cm 판이 빛을 가린 시간을 0.0174 s와 0.0349 s로 기록했다. 가벼운 수레가 더 빠른 것은 당연해 보이지만, 정확히 두 배일까? 용수철이 준 에너지는 두 수레가 똑같이 나누어 가질까?

질량비 m₂/m₁

2.7.1같은 크기의 충격량

용수철이 펴지는 동안 용수철은 두 수레를 동시에 민다. 작용 반작용 법칙에 따라 두 수레가 받는 힘은 크기가 같고 방향이 반대이며, 힘을 받는 시간도 같다. 그래서 두 수레가 받은 충격량, 곧 힘과 시간의 곱도 크기가 같고 방향이 반대이다. 충격량은 운동량의 변화와 같으므로, 처음에 멈춰 있던 두 수레는 크기가 같고 방향이 반대인 운동량을 갖고 갈라진다. 운동량의 합은 처음처럼 0으로 남는다. 바깥에서 힘이 작용하지 않는 한 물체들 사이의 힘이 아무리 복잡해도 이 결과는 바뀌지 않는다. 이것이 운동량 보존이다.

그림 1에서 질량비를 바꾸어 보자. 두 수레의 질량이 같으면 속력도 같고 에너지도 반씩 나눈다. 질량비가 4이면 가벼운 수레가 네 배 빠르고 에너지의 5분의 4를 가져간다. 그러나 어떤 경우에도 운동량 막대 두 개는 길이가 같다. 대포를 쏘면 포탄은 매우 빠르게 날아가고 대포는 조금만 뒤로 밀리는 것도 같은 까닭이다. 운동량은 똑같이 나누지만, 에너지는 거의 모두 가벼운 포탄이 가져간다.¹

2.7.2포토게이트로 속력 재기

포토게이트는 빛살이 가려진 시간을 0.0001 s까지 잰다. 수레 위에 폭을 아는 판을 세워 두면, 판의 폭을 가려진 시간으로 나눈 값이 판이 지나가는 동안의 평균 속력이다. 판이 지나가는 동안 속력이 거의 변하지 않도록, 포토게이트는 용수철에서 수레가 완전히 떨어진 뒤의 자리에 둔다. 트랙에 마찰이 있으면 수레가 포토게이트까지 가는 동안 느려지므로, 포토게이트는 수레가 용수철에서 떨어진 직후의 가까운 자리에 둔다. 운동량을 비교할 때는 방향을 정해 한쪽을 양수, 반대쪽을 음수로 적는다.

2.7.3예제 풀이

속력은 \(0.020/0.0174 = 1.149\) m/s와 \(0.020/0.0349 = 0.573\) m/s이고, 비는 \(1.149/0.573 = 2.01\)로 질량비 2와 맞는다. 운동량은 \(0.50 \times 1.149 = 0.575\)와 \(1.00 \times 0.573 = 0.573\) kg·m/s로, 반대 방향이므로 합은 \(-0.002\) kg·m/s이다.

시간을 ±0.0001 s로 읽으면 가벼운 수레의 시간 0.0174 s에서 상대 오차가 0.6%이고, 운동량으로 \(\pm 0.003\) kg·m/s이다. 합 \(-0.002\)는 이 범위 안이므로 0과 구별되지 않고, 운동량은 측정의 정밀도 안에서 보존된다. 운동 에너지는 \(\tfrac{1}{2} \times 0.50 \times 1.149^2 \approx 0.330\) J와 \(\tfrac{1}{2} \times 1.00 \times 0.573^2 \approx 0.164\) J로, 합 0.494 J가 용수철이 준 에너지이다. 가벼운 수레가 그 3분의 2를 가져가 정리의 비 \(m_2 : m_1 = 2 : 1\)과 맞는다. 처음 질문의 답은 속력은 정확히 두 배이고, 에너지는 똑같이 나누지 않는다는 것이다.

아래 탐구 카드에서 두 수레의 질량을 바꾸어 가며 분리 실험을 하고, 운동량의 합이 0으로 남는지 확인해 보자.

1. 로켓도 같은 원리로 날아간다. 1920년 미국의 한 신문은 진공에는 밀어낼 공기가 없어 로켓이 우주에서 날 수 없다며 고다드를 비웃었고, 1969년 아폴로 11호가 발사된 뒤에야 정정 기사를 실었다.