행성의 운동과 인공위성

국제 우주 정거장은 고도 약 400 km에서 90분마다 지구를 한 바퀴 돈다. 그래서 하루에 16번 해돋이를 본다. 반면 위성 방송을 보내는 정지 위성은 하늘의 한 자리에 멈춰 있는 것처럼 보여, 집의 위성 안테나를 한 방향으로 고정해 둘 수 있다. 정지 위성은 고도 약 36000 km를 돈다. 왜 그 높이일까? 위성의 높이와 속력, 주기 사이에는 어떤 관계가 있을까?

고도 (km)

1.4.1원 궤도의 조건

지구 둘레를 원으로 도는 위성은 늘 지구 중심을 향해 떨어지고 있다. 다만 옆으로 충분히 빠르게 움직이므로, 떨어지는 만큼 지구 표면도 둥글게 휘어 멀어져 땅에 닿지 않는다. 이 때 만유인력이 원운동에 필요한 구심력 노릇을 한다. 질량 \(m\)인 위성이 지구 중심에서 \(r\)만큼 떨어져 속력 \(v\)로 돌면 \(\dfrac{GMm}{r^2} = \dfrac{mv^2}{r}\)이다. 양변의 \(m\)이 지워지므로 궤도 속력은 위성의 질량과 관계없다.

그림 1에서 고도를 바꾸어 보자. 고도 400 km에서는 \(r = 6771\) km이므로 속력이 약 7.67 km/s이고 한 바퀴에 약 92분이 걸린다. 고도를 높이면 속력은 줄고 둘레는 늘어나 주기가 빠르게 길어진다. 고도 약 35800 km에서 주기가 지구의 자전 주기 23시간 56분과 같아진다. 적도 위의 이 궤도를 지구와 같은 방향으로 돌면, 땅에서 볼 때 위성이 하늘의 한 점에 멈춰 있다.¹

1.4.2궤도의 에너지

원 궤도를 도는 위성의 운동 에너지는 \(\dfrac{GMm}{2r}\)이고, 위치 에너지는 무한히 먼 곳을 0으로 잡으면 \(-\dfrac{GMm}{r}\)이다. 그래서 역학적 에너지는 \(-\dfrac{GMm}{2r}\)로 음수이며, 높은 궤도일수록 0에 가까워져 크다. 즉 위성을 높은 궤도로 올리려면 에너지를 더 주어야 하지만, 올라간 위성은 오히려 느리게 돈다. 역학적 에너지가 0 이상이 되면 위성은 지구를 벗어난다. 지표에서 이 조건을 만족하는 속력이 탈출 속도 \(\sqrt{2GM/R} \approx 11.2\) km/s이다.

1.4.3예제 풀이

\(T = 2\pi\sqrt{r^3/GM}\)을 \(r\)에 대해 풀면 \(r^3 = \dfrac{GMT^2}{4\pi^2} = \dfrac{3.99 \times 10^{14} \times (86160)^2}{39.5} \approx 7.50 \times 10^{22}\ \text{m}^3\)이다. 세제곱근을 구하면 \(r \approx 4.22 \times 10^7\) m, 곧 약 42200 km이다.

고도는 \(42200 - 6371 \approx 35800\) km이고, 속력은 \(2\pi r / T = 2\pi \times 4.22 \times 10^7 \div 86160 \approx 3.08\) km/s이다. 즉 정지 궤도의 높이는 사람이 고른 것이 아니라 지구의 질량과 자전 주기가 정해 준 값이다. 그래서 정지 위성을 원하는 나라는 모두 같은 높이의 적도 위 원에 위성을 놓아야 하고, 그 자리는 국제 기구가 나누어 배정한다.

아래 탐구 카드에서 인공위성을 원 궤도에 올리려면 얼마나 빠르게 던져야 하는지 확인하고, 궤도의 높이에 따른 속력과 주기를 계산해 보자.

1. 정지 궤도에 통신 위성을 두자는 생각은 1945년 공상 과학 작가 아서 클라크가 잡지 기고에서 널리 알렸다. 그래서 정지 궤도를 '클라크 궤도'라고도 부른다.