등가 원리와 일반 상대론
본문특수 상대성 이론에 따르면 빠르게 움직이는 시계는 느리게 간다. 시속 1만 4천 km로 도는 GPS 위성의 시계도 그래야 한다. 그런데 실제로 위성의 시계는 지상보다 하루에 약 38 μs 빨리 간다. 위성은 빠르게 움직이는데 왜 시계가 오히려 빨라질까? 답은 중력이 시간에 미치는 영향에 있다.
1.6.1등가 원리
창문 없는 엘리베이터가 우주 공간에서 위쪽으로 \(g\)의 가속도로 가속하면, 안에 있는 사람은 바닥에 눌리고 손에서 놓은 공은 바닥으로 떨어진다. 지구 위에 정지한 엘리베이터 안과 구별할 방법이 없다. 반대로 지구에서 자유 낙하하는 엘리베이터 안에서는 모든 것이 둥둥 떠 무중력처럼 느껴진다.
좁은 공간 안에서는 중력의 효과와 가속 운동의 효과를 어떤 실험으로도 구별할 수 없다. 곧 중력 질량과 관성 질량은 같다.
아인슈타인은 이 원리에서 출발해, 중력을 힘이 아니라 질량이 시공간을 휘게 한 결과로 보는 일반 상대성 이론을 세웠다. 물체는 휘어진 시공간에서 가장 곧은 길을 따라 움직일 뿐인데, 그것이 우리에게는 중력에 끌려가는 것처럼 보인다.
1.6.2중력과 시간
일반 상대론의 한 결과는 중력이 강한 곳일수록 시간이 느리게 간다는 것이다. 지표는 위성보다 지구에 가까워 중력 퍼텐셜이 낮으므로, 지상의 시계가 위성의 시계보다 느리다. 이 차이는 중력 퍼텐셜 에너지의 차이를 \(c^2\)으로 나눈 비율만큼이며, 하루에 약 45 μs이다. 한편 위성의 빠른 속도는 특수 상대론에 따라 하루 약 7 μs 시계를 늦춘다. 두 효과를 합하면 하루 약 38 μs 빨라진다.1
\[\frac{\Delta t_{\text{위}} - \Delta t_{\text{아래}}}{\Delta t} \approx \frac{GM}{c^2}\left(\frac{1}{R} - \frac{1}{r}\right)\]
1.6.3예제 풀이
GPS 위성의 시계가 보정 없이 하루에 38 μs 빨라진다면, 위성 신호로 계산한 거리에는 하루에 얼마의 오차가 쌓이는가? (빛의 속력 \(3 \times 10^8\) m/s)
GPS는 신호가 오는 데 걸린 시간에 빛의 속력을 곱해 거리를 잰다. 시간 오차 38 μs는 거리로 \(3 \times 10^8 \times 38 \times 10^{-6} = 11\,400\) m, 곧 약 11 km이다.
위치 정확도가 수 m인 GPS에 견주면 엄청난 차이이다. 하루에 11 km씩 오차가 쌓이면 내비게이션은 몇 시간 만에 쓸모없어진다. 그래서 위성의 시계는 발사 전에 일부러 조금 느리게 맞추어 두고, 수신기에서도 상대론 효과를 계산해 보정한다. 상대성 이론은 우리가 매일 쓰는 길 찾기 기술에 들어 있다.
아래 탐구 카드에서 GPS 위성 시계의 보정과 중력을 휘어진 시공간으로 보는 생각을 직접 살펴보자.
- 1959년 파운드와 레브카는 높이 22.5 m인 탑의 꼭대기와 바닥 사이에서 빛의 진동수가 아주 조금 다르다는 것을 측정하여, 중력에 의한 시간 지연을 지구 위에서 처음 확인했다.
등가 원리는 좁은 공간에서 중력과 가속을 구별할 수 없다는 원리이며, 일반 상대론은 중력을 시공간의 휘어짐으로 본다. 그 결과 중력이 강한 곳에서 시간이 느리게 간다. 그래서 처음 질문의 GPS 위성은 빠른 속도로 느려지는 효과보다 약한 중력으로 빨라지는 효과가 커서, 하루에 약 38 μs 빨리 간다.
