특수 상대성 이론
본문달리는 기차 안에서 공을 앞으로 던지면, 밖에 선 사람에게는 공이 기차의 속력만큼 더 빠르게 보인다. 그런데 기차에서 빛을 앞으로 쏘면, 밖에 선 사람이 재어도 빛의 속력은 그대로 초속 30만 km이다. 속력이 더해지지 않는다면 무엇이 대신 바뀌어야 할까?
3.6.1두 가지 가정
1905년 아인슈타인은 두 가지를 출발점으로 삼았다. 첫째, 서로 일정한 속도로 움직이는 관찰자들에게 물리 법칙은 똑같다. 둘째, 진공에서 빛의 속력은 광원이나 관찰자의 운동과 상관없이 누구에게나 \(c\)이다. 두 번째 가정은 상식과 어긋나 보이지만, 마이컬슨과 몰리의 실험을 비롯한 수많은 측정이 이를 뒷받침한다.
속력은 거리를 시간으로 나눈 값이다. 서로 다른 관찰자가 같은 빛의 이동 거리를 다르게 재는데도 속력이 같으려면, 시간도 서로 다르게 재어야 한다.
3.6.2시간 팽창
높이 \(L\)인 빛 시계를 생각하자. 시계와 함께 움직이는 사람에게 빛은 위아래로 곧게 오가므로 한 번 올라가는 데 \(t_0 = \tfrac{L}{c}\)가 걸린다. 그런데 시계가 속력 \(v\)로 움직이는 것을 밖에서 보면, 빛이 올라가는 동안 거울이 옆으로 \(vt\)만큼 이동하므로 빛은 비스듬한 빗변을 따라 간다.
빗변의 길이는 \(ct\)이므로 피타고라스 정리에서 \((ct)^2 = L^2 + (vt)^2\)이다. \(L = ct_0\)를 넣어 정리하면 \(t^2(c^2 - v^2) = c^2t_0^2\), 곧 다음 식을 얻는다.1
속력 \(v\)로 움직이는 시계에서 \(t_0\) 동안 일어난 일을 정지한 관찰자가 재면 \[t = \frac{t_0}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}\] 이다. 분모가 1보다 작으므로 \(t > t_0\), 곧 움직이는 시계는 느리게 간다.
그림 1의 슬라이더로 속력을 올려 보면, 빛의 빗변이 길어지며 바깥에서 잰 시간이 늘어난다. \(v\)가 \(c\)의 절반일 때는 약 1.15배에 불과하지만, \(c\)에 가까워질수록 급격히 커진다. 같은 이유로 움직이는 물체의 길이는 운동 방향으로 \(\sqrt{1 - v^2/c^2}\)배만큼 짧게 측정되는데, 이것을 길이 수축이라 한다.
3.6.3예제 풀이
우주선이 지구에 대해 \(0.6c\)로 날아가며, 우주선 안의 시계로 3시간이 지났다. 지구의 관찰자가 잰 시간은 얼마인가? 또 우주선 안의 사람이 재는 지구 시계는 빠르게 갈까, 느리게 갈까?
\(\sqrt{1 - 0.6^2} = \sqrt{0.64} = 0.8\)이므로 \(t = \dfrac{3}{0.8} = 3.75\) 시간이다. 지구에서는 3시간 45분이 지난 것으로 잰다.
우주선의 사람에게는 지구가 \(0.6c\)로 움직이므로, 거꾸로 지구의 시계가 0.8배로 느리게 가는 것으로 보인다. 어느 쪽이 '정말' 느린지 묻는 것은 의미가 없다. 시간은 관찰자의 운동 상태에 따라 다르게 측정되는 양이기 때문이다.
이 효과는 실제로 측정된다. 상공에서 만들어지는 뮤온은 수명이 아주 짧아 원래는 지표까지 오지 못해야 하지만, 빛에 가까운 속력으로 날아오기 때문에 지표에서 보면 수명이 늘어나 많은 수가 도착한다. GPS 위성의 시계도 이 효과를 보정하지 않으면 위치 오차가 하루에 수 km씩 쌓인다. 아래 탐구 카드에서 빛 시계와 GPS, 뮤온을 직접 따져 보자.
- 위성의 시계는 중력이 약한 높은 곳에 있어 일반 상대성 이론에 따라 오히려 빨리 가는 효과도 받는다. GPS는 속력에 의한 늦어짐과 중력에 의한 빨라짐을 모두 계산하여 보정한다.
빛의 속력이 누구에게나 같다면, 움직이는 시계의 빛은 더 긴 길을 가야 하므로 바깥에서 재는 시간이 \(\tfrac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}\)배로 늘어난다. 그래서 처음 질문의 답은 시간이다. 속력이 더해지지 않는 대신 관찰자마다 재는 시간과 길이가 달라진다.