속도와 거리

자동차의 계기판은 매 순간의 속도만 보여 준다. 그런데 주행 기록계는 지금까지 달린 거리를 알려 준다. 속도의 기록만으로 위치와 움직인 거리를 계산할 수 있을까? 앞으로 갔다가 뒤로 돌아온 경우에도 같은 방법이 통할까?

끝 시각 \(t\) (초) =

3.6.1속도를 적분하면 위치의 변화

위치 \(x(t)\)를 미분하면 속도 \(v(t)\)였다. 그러면 거꾸로 위치는 속도의 부정적분이다. 정적분의 계산 정리에 따라 \(\displaystyle\int_a^b v(t)\,dt = x(b) - x(a)\)이므로, 속도를 \(a\)에서 \(b\)까지 적분하면 그동안의 위치의 변화가 나온다.

그림으로 보면, 아주 짧은 시간 \(\Delta t\) 동안 움직인 양은 '속도 × 시간', 곧 속도 그래프 아래 가는 띠의 넓이이다. 이 띠를 모두 더하는 것이 정적분이다. 그런데 속도가 음수이면 띠가 \(t\)축 아래에 놓이고 넓이에 음의 부호가 붙는다. 이것은 뒤로 움직였다는 뜻이다.

그림 1의 슬라이더로 끝 시각을 늘려 보자. \(t = 2\)까지는 위쪽 넓이만 쌓이다가, 그 뒤로는 아래쪽 넓이가 쌓이며 위치의 변화는 줄어들기 시작한다. 그러나 움직인 거리는 계속 늘어난다.¹

3.6.2예제 풀이

위치는 \(x(3) = 0 + \displaystyle\int_0^3 (4 - 2t)\,dt = \Big[4t - t^2\Big]_0^3 = 12 - 9 = 3\)이다.

움직인 거리는 속도의 부호가 바뀌는 \(t = 2\)에서 나누어 구한다. \(0 \le t \le 2\)에서는 \(v \ge 0\)이므로 \(\displaystyle\int_0^2 (4 - 2t)\,dt = 8 - 4 = 4\)이다. \(2 \le t \le 3\)에서는 \(v \le 0\)이므로 \(\displaystyle -\int_2^3 (4 - 2t)\,dt = -\{(12 - 9) - (8 - 4)\} = 1\)이다. 따라서 움직인 거리는 \(4 + 1 = 5\)이다.

점은 2초 동안 위치 4까지 갔다가 방향을 바꾸어 1만큼 되돌아왔다. 그래서 위치는 3, 움직인 거리는 5로 서로 다르다. 그림 2가 바로 이 움직임이다. 아래 탐구 카드에서 속도 그래프를 바꾸며 위치와 거리를 직접 비교하고, 두 물체가 언제 만나는지도 확인해 보자.

1. 두 물체의 속도 그래프가 만나는 순간은 두 물체의 속도가 같은 순간이지, 두 물체가 같은 곳에 있는 순간이 아니다. 같은 곳에 있는지는 출발점부터 속도를 적분한 위치를 비교해야 안다.