시공간, 질량–에너지, 중력과 시간

19세기 말 물리학은 거의 완성된 것처럼 보였다. 그런데 뉴턴 역학과 맥스웰 전자기학을 나란히 놓으면 서로 맞지 않는 곳이 하나 있었다. 빛의 속력은 누구에 대해 c일까?

1탄생 배경, 빛의 속력은 누구에 대한 속력인가

맥스웰 방정식은 전자기파의 속력을 c = 1/√(ε₀μ₀) ≈ 3.00 × 10⁸ m/s라는 하나의 값으로 내놓는다. 갈릴레이 변환을 따르면 빛과 같은 방향으로 v로 달리는 관찰자에게 빛은 c − v로 보여야 하므로, 이 c는 어떤 특별한 기준에 대한 속력이어야 했다. 물리학자들은 빛을 실어 나르는 매질 에테르를 가정했고, 지구가 공전하며 에테르 속을 지나가면 방향에 따라 빛의 속력이 달라질 것이라 생각했다.

1887년 마이컬슨과 몰리는 마이컬슨 간섭계를 무거운 돌판에 올려 수은 위에 띄우고, 장치를 천천히 돌리며 간섭무늬가 움직이는지 보았다. 예상한 이동은 무늬 간격의 약 0.4배였지만, 측정된 이동은 그 20분의 1보다 작았다. 로런츠와 피츠제럴드는 에테르 속에서 움직이는 물체가 운동 방향으로 줄어든다는 가설로 이 결과를 설명하려 했지만, 왜 그런지는 설명하지 못했다.

2두 가정

1905년 아인슈타인은 에테르를 버리고 두 가지를 출발점으로 삼았다.

상대성 원리

모든 관성 좌표계에서 물리 법칙은 같은 꼴이다. 등속으로 움직이는 관찰자는 어떤 실험으로도 자신이 ‘정말로’ 움직이는지 알 수 없다.

광속 불변 원리

진공에서 빛의 속력은 광원이나 관찰자의 운동과 관계없이 모든 관성계에서 c이다.

두 가정은 각각 자연스럽지만 함께 받아들이면 ‘시간은 누구에게나 똑같이 흐른다’는 생각을 버려야 한다. 그 대신 좌표 변환은 갈릴레이 변환이 아니라 로런츠 변환이 된다.

3결과, 시간과 공간이 섞인다

여기서 γ = 1/√(1 − v²/c²)이다. v = 0.1c에서 γ = 1.005로 거의 1이지만, 0.6c에서 1.25, 0.9c에서 2.29, 0.99c에서 7.09로 빠르게 커진다. 일상의 속력에서는 γ − 1이 10⁻¹⁰보다도 작아서 뉴턴 역학이 매우 정확한 근사로 남는다. 대기 위에서 생긴 뮤온(고유 수명 2.2 μs)이 지표까지 내려오는 것, 입자 가속기 안의 불안정한 입자가 더 오래 사는 것은 시간 팽창을 직접 보여 주는 관측이다.

4질량과 에너지

운동량 보존이 모든 관성계에서 성립하려면 운동량이 p = γmv, 에너지가 E = γmc²이어야 한다. v → 0이면 E ≈ mc² + ½mv²이므로, 뉴턴의 운동 에너지 앞에 정지 에너지 mc²가 붙어 있는 셈이다. 에너지와 운동량 사이에는 E² = (pc)² + (mc²)²이 성립하고, 질량이 없는 광자는 E = pc이다. 정지 에너지는 매우 커서 질량 1 g이 모두 에너지로 바뀌면 9 × 10¹³ J, 약 21 kt TNT의 폭발 에너지와 같다. 핵분열과 핵융합에서는 반응 뒤 질량의 합이 줄어들고(질량 결손 Δm), 그만큼 Δmc²의 에너지가 나온다. 화학 반응에서도 원리는 같지만, 질량 변화가 10⁻¹⁰ 정도로 작아 저울로는 잴 수 없다.

5일반 상대성 이론, 가속과 중력은 구별할 수 없다

특수 상대성 이론은 관성계만 다룬다. 아인슈타인은 다음 단계로 가속 좌표계를 생각했다. 창문 없는 상자가 우주 공간에서 g로 가속하면, 안의 사람은 바닥 쪽으로 관성력 mg를 받아 지구 위에 있을 때와 똑같이 느낀다. 반대로 지구 위에서 자유 낙하하는 상자 안은 무중력처럼 보인다. 국소적으로 중력과 가속 좌표계의 관성력을 구별할 수 없다는 것이 등가 원리이다.

등가 원리로부터 두 가지 결론이 나온다. 가속하는 상자 안에서 가로로 쏜 빛은 바닥 쪽으로 휘어 보이므로, 중력도 빛의 경로를 휘게 한다(1919년 일식 관측). 또 가속하는 상자의 천장에서 바닥으로 보낸 빛은 바닥이 마중 나오므로 진동수가 높게 측정되는데, 같은 일이 중력장에서도 일어나야 한다. 곧 중력 퍼텐셜이 낮은 곳의 시계가 더 느리게 간다. 높이 차 h인 두 시계의 빠르기 차이는 약 gh/c²로, 1 m 높이에서 약 1.1 × 10⁻¹⁶이다. 1959년 파운드와 레브카는 22.5 m 높이의 탑에서 감마선의 진동수 변화를 측정해 이를 확인했고, 2010년에는 광 원자시계로 높이 33 cm의 차이까지 측정했다. GPS 위성의 시계는 이 효과와 속도에 의한 시간 팽창을 함께 보정한다.

판단“움직이는 물체의 질량이 커진다(상대론적 질량 γm)”는 표현은 오래된 교과서에 남아 있지만, 지금은 질량 m을 관성계에 관계없는 양으로 두고 에너지와 운동량에 γ를 붙여 쓰는 것이 표준이다. 또 시간 팽창과 길이 수축은 측정 기기의 결함이 아니라 시공간 자체의 성질이며, 각 관찰자는 상대방의 시계가 느리다고 측정한다. 이것이 모순처럼 보이는 까닭은 두 관찰자의 ‘같은 시각’이 다르기 때문이다.

창문 없는 엘리베이터 안에서 몸무게를 재니 평소보다 무겁게 나온다. 엘리베이터가 위로 가속하는 중일까, 아니면 중력이 더 센 행성에 와 있는 걸까? 안에서는 이 둘을 구별할 방법이 있을까?

1등가 원리

질량에는 두 얼굴이 있다. 힘을 받았을 때 얼마나 가속하기 어려운지를 나타내는 관성 질량(F = ma의 m)과, 중력을 얼마나 세게 받는지를 나타내는 중력 질량(GMm/r²의 m)이다. 모든 물체가 질량과 관계없이 같은 가속도로 떨어진다는 것은 이 둘이 같다는 뜻이고, 실험은 이를 10조분의 1보다 정밀하게 확인했다.

아인슈타인은 여기서 더 나아가, 가속하는 계와 중력이 있는 계는 그 안에서 어떤 실험을 해도 구별할 수 없다고 보았다(등가 원리). 그렇다면 가속하는 엘리베이터 안에서 수평으로 쏜 빛이 바닥 쪽으로 휘어 보이듯, 중력이 있는 곳에서도 빛이 휘어야 한다. 실제로 1919년 개기 일식 때 태양 가까이 보이는 별의 위치가 조금 어긋난 것이 관측되었다.

2휘어진 시공간

일반 상대성 이론에서 질량은 주변의 시공간을 휘게 하고, 물체는 그 휘어진 시공간에서 가장 곧은 길을 따라 움직인다. 그래서 행성이 태양 둘레를 도는 것은 태양이 끈으로 당겨서가 아니라, 태양 둘레의 시공간이 휘어 있기 때문이라고 설명한다. 흔히 무거운 공을 올려 움푹 들어간 고무막으로 비유하지만, 이 그림은 공간의 휘어짐만 보여 줄 뿐 시간의 휘어짐은 담지 못하는 비유이다.

3블랙홀

탈출 속도 v = √(2GM/R)은 같은 질량을 작은 반지름에 모을수록 커진다. 그래서 탈출 속도가 빛의 속력 c가 되는 반지름 R = 2GM/c²보다 작게 질량이 뭉치면 빛조차 빠져나오지 못하는데, 이것이 블랙홀이고 이 경계를 사건 지평선이라 한다. 태양을 블랙홀로 만들려면 반지름 약 3 km, 지구라면 약 9 mm로 압축해야 한다. 이 계산은 뉴턴 역학의 탈출 속도를 빌린 어림이지만, 일반 상대성 이론으로 정확히 계산해도 같은 값이 나온다.

4중력 시간 지연과 GPS

일반 상대성 이론은 중력이 강한 곳일수록 시간이 느리게 간다고 예측한다. 지표에서 약 2만 km 위를 도는 GPS 위성은 지표보다 중력이 약해 시계가 하루에 약 45 μs 빨리 가지만, 빠르게 움직이므로 특수 상대성 이론의 시간 지연으로 하루 약 7 μs 느려진다. 합치면 하루 약 38 μs 빨라지는데, 이를 보정하지 않으면 위치 오차가 하루에 10 km 넘게 쌓이며, 이 절의 GPS 카드에서 직접 계산해 볼 수 있다.

판단일반 상대성 이론이 뉴턴의 만유인력을 틀렸다고 버린 것은 아니다. 중력이 약하고 속력이 빛보다 훨씬 느린 일상과 태양계 대부분에서는 두 이론의 예측이 거의 같아, 인공위성 궤도도 대개 뉴턴 역학으로 계산한다. 차이는 블랙홀 근처, 정밀한 시계, 빛의 경로처럼 극단적이거나 매우 정밀한 경우에 드러난다.