천구의와 구면 좌표

겨울밤 서울의 학교 운동장에서 각도기와 추로 만든 고도계를 들고 시리우스를 지켜보았다. 시리우스는 남동쪽에서 떠올라 점점 높아지다가 정남쪽에서 고도 35.8°에 이른 뒤 다시 낮아졌다. 같은 밤 북극성은 북쪽 하늘 37.5° 높이에 거의 멈추어 있었다. 별의 위치를 숫자 두 개로 적는 좌표가 있다면, 이 두 측정값만으로 운동장의 위도를 계산할 수 있을까?

3.1.1하늘에 그린 지구의 위도와 경도

별은 너무 멀어서 모두 지구를 둘러싼 커다란 구면에 붙어 있는 것처럼 보인다. 이 구면을 천구라 한다. 지구의 자전축을 늘인 선이 천구와 만나는 점이 천구의 북극과 남극이고, 적도면을 늘여 천구와 만나는 원이 천구 적도이다. 지구에서 위도와 경도로 위치를 적듯, 천구에서는 천구 적도에서 잰 각인 적위와 춘분점에서 동쪽으로 잰 각인 적경으로 별의 위치를 적는다. 그래서 적도 좌표는 관측하는 곳이나 시각이 달라도 같은 별에 늘 같은 값을 준다. 반면 지평선에서 잰 고도와 북쪽에서 잰 방위각으로 적는 지평 좌표는 관측하는 곳과 시각에 따라 바뀐다.

북극에 서면 천구 북극이 머리 바로 위에 있고, 적도에 서면 지평선에 놓인다. 그 사이에서는 위도만큼 북쪽 지평선에서 올라와 있다. 그래서 북극성의 고도가 곧 그곳의 위도이다. 별이 일주 운동으로 하늘을 지나며 가장 높이 오르는 순간이 남중이고, 이때 별은 정남쪽에 있다. 천구 적도는 남쪽 하늘에서 \(90° - \varphi\)의 높이에 걸려 있으므로, 별은 그보다 적위만큼 높거나 낮게 남중한다.¹

3.1.2정확히 재는 요령

북극성은 천구 북극에서 0.7°쯤 떨어져 있어, 하룻밤 동안 작은 원을 그리며 고도가 조금씩 바뀐다. 그래서 북극성만으로는 위도가 1° 가까이 틀릴 수 있다. 적위를 정확히 아는 별의 남중 고도를 재면 이 오차를 줄일 수 있다. 남중 전후 몇 분 동안 고도를 여러 번 재어 가장 큰 값을 남중 고도로 고르고, 지평선 가까운 별은 대기의 굴절로 실제보다 조금 높아 보이므로 고도가 높은 별을 고르는 편이 낫다.

3.1.3예제 풀이

남중 고도의 식에서 \(\varphi = 90° + \delta - h = 90° - 16.7° - 35.8° = 37.5°\)이다. 북극성의 고도 37.5°와 같아, 두 측정이 서로 확인해 준다.

지지 않는 별은 천구 북극에서 \(37.5°\) 안쪽에 있어야 하므로 \(\delta > 90° - 37.5° = 52.5°\)이다. 큰곰자리의 북두칠성 대부분이 여기에 든다. 반대로 천구 남극에서 37.5° 안쪽, 곧 \(\delta < -52.5°\)인 별은 서울에서 한 번도 떠오르지 않는다. 남십자자리가 그런 별이다. 즉 천구 북극의 고도가 위도와 같으므로, 적위를 아는 별의 남중 고도 하나로 위도를 구할 수 있고, 그 위도에서 볼 수 있는 하늘의 범위도 정해진다.

아래 탐구 카드에서 천구의를 돌려 여러 별의 남중 고도를 읽고, 위도를 바꾸면 남중 고도와 주극성의 범위가 어떻게 달라지는지 확인해 보자.

1. 바다 한가운데에서 위성 항법이 없던 시절, 항해사들은 육분의로 정오의 태양이나 밤의 별이 남중하는 고도를 재어 배의 위도를 구했다. 별의 적위를 날짜별로 정리한 항해력이 이 계산의 바탕이었다.