열의 일당량

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2 kg 추가 1 m를 내려갈 때마다 도르래가 물속의 날개를 돌리게 하고, 추를 20번 떨어뜨린 뒤 물 100 g의 온도를 쟀다. 추가 한 일은 392 J이고 물의 온도는 0.85 °C 올랐다. 이것으로 1 cal가 몇 J인지 계산하니 4.61 J이 나왔다. 교과서의 값 4.19 J보다 10% 크다. 다른 모둠도, 전기 히터로 데운 모둠도 모두 4.19보다 큰 값을 얻었다. 왜 한쪽으로만 틀릴까?

빠져나간 열의 비율 (%)

그림 1. 일 4186 J를 물 1 kg에 가할 때, 열이 빠져나가는 만큼 온도가 덜 올라 계산한 일당량은 언제나 참값보다 크다.

먼저 알아야 할 것일 \(W = Fs\), 열량 \(Q = cm\Delta T\), 마찰력, 얼음의 융해열(얼음의 융해열).

2.10.1두 단위를 잇는 비율

1 cal는 물 1 g의 온도를 1 °C 올리는 열이고, 1 J은 1 N의 힘으로 물체를 1 m 미는 일이다. 열이 따로 존재하는 물질이라고 생각하던 시절에는 두 양이 서로 다른 것이었다. 그런데 물을 세게 저으면 물이 데워진다. 날개가 물을 휘저으며 한 일이 물 분자의 운동, 곧 내부 에너지로 바뀌기 때문이다. 일과 열이 같은 에너지의 두 모습이라면, 같은 양의 일은 언제나 같은 양의 열을 만들어야 하고, 두 단위 사이에는 정해진 비율이 있어야 한다. 이 비율을 열의 일당량이라 한다.

정리 2.10.1 열의 일당량

일 \(W\)가 모두 열 \(Q\)로 바뀔 때 \(W = JQ\)이고, \[J = \frac{W}{Q} = \frac{W}{cm\Delta T} \approx 4.19 \ \text{J/cal}\]이다. 물이 받은 열을 실제보다 적게 재면 \(J\)는 크게 계산된다.

그림 1에서 빠져나간 열의 비율을 바꾸어 보자. 일 4186 J이 모두 물 1 kg에 들어가면 온도는 1.000 °C 오르고 일당량은 4.19가 된다. 그런데 열의 10%가 그릇과 공기로 빠져나가면 온도는 0.900 °C만 오르고, 이 온도로 계산한 일당량은 4.65로 커진다. 손실은 언제나 물이 받은 열을 줄이는 쪽으로만 작용하므로, 이 실험의 결과는 늘 참값보다 크게 나온다. 일정한 방향으로 생기는 이런 오차가 계통 오차이다.¹

2.10.2손실을 줄이고 보정하기

손실이 생기는 곳은 여러 군데이다. 그릇과 날개, 온도계도 함께 데워지므로 물만의 열로 계산하면 그만큼이 빠진다. 이것은 그릇의 열용량을 물의 질량으로 바꾼 물당량을 미리 재어 더하면 보정할 수 있다. 추가 떨어지는 동안 도르래의 마찰이 일의 일부를 물 밖에서 열로 바꾸고, 추가 바닥에 닿을 때의 운동 에너지도 물에 들어가지 않는다. 실험이 오래 걸리면 공기로 빠져나가는 열도 늘어난다. 그래서 짧은 시간에 큰 일을 하고, 처음 물의 온도를 실내보다 조금 낮게 맞추어 나중 온도가 실내보다 조금 높아지게 하면 들어온 열과 나간 열이 상쇄된다.

그림 2. 두 방법 모두 4.19보다 크게 나오고, 큰 일을 짧게 가한 전기 히터 쪽이 손실 비율이 작아 참값에 더 가깝다.

2.10.3예제 풀이

예제 2.10.2

처음 질문의 실험에서 추가 한 일과 계산한 일당량을 확인하여라. 손실이 없었다면 온도는 몇 °C 올랐어야 하고, 실제로 빠져나간 열은 몇 %인가? 그릇의 물당량이 10 g이었다면 보정한 일당량은 얼마인가?

추가 한 일은 \(W = 20 \times 2 \times 9.8 \times 1 = 392\) J이다. 물이 받은 열은 \(100 \times 1 \times 0.85 = 85\) cal이므로 \(J = 392/85 \approx 4.61\) J/cal이다. 손실이 없었다면 \(392/4.19 \approx 93.6\) cal의 열이 물에 들어가 온도가 0.936 °C 올랐어야 한다. 실제 85 cal는 그 91%이므로 약 9%가 빠져나간 셈이다.

그릇의 물당량 10 g을 더하면 열을 받은 것은 물 110 g과 같아서 \(Q = 110 \times 0.85 = 93.5\) cal이고, \(J = 392/93.5 \approx 4.19\) J/cal로 참값과 맞는다. 이 실험에서 빠진 열의 대부분은 공기로 새어 나간 것이 아니라 그릇이 가져간 것이었다. 즉 계통 오차는 반복 측정으로 줄지 않지만, 원인을 찾아 열 수지에 넣으면 보정할 수 있다.

아래 탐구 카드에서 손잡이를 돌린 일과 데워진 물의 온도로 열의 일당량을 재고, 손실의 원인을 찾아 보정해 보자.

1845년 영국의 줄은 추를 떨어뜨려 물속의 날개를 돌리는 장치로 열의 일당량을 재었다. 온도 상승이 0.3 °C 안팎이어서 아주 정밀한 온도계를 직접 만들어 썼고, 그가 얻은 값은 지금 값과 1% 안쪽으로 맞았다.

마무리

일과 열은 같은 에너지의 두 모습이어서 일이 모두 열로 바뀌면 \(W = JQ\)이고, 열의 일당량은 약 4.19 J/cal이다. 열이 그릇이나 공기로 빠져나가면 물이 받은 열을 적게 재어 \(J\)가 언제나 크게 계산되므로, 그릇의 물당량을 더하고 실험 시간을 줄여 보정한다. 처음 질문의 4.61은 그릇이 가져간 열을 빼먹어 생긴 계통 오차이고, 물당량 10 g을 넣으면 4.19가 된다.

탐구 1

물을 저어서 데울 수 있을까?

줄의 실험 · 일과 열의 같은 단위

추 두 개의 질량 합 = 20 kg

내려가는 높이 = 1.5 m

물의 질량 = 0.5 kg

떨어뜨린 횟수: —
추가 한 일: —
물의 온도 상승: —

모식 장치이다. 추는 날개의 저항 때문에 천천히 일정한 속력으로 내려오므로, 추의 운동 에너지는 무시하고 mgh가 모두 물로 간다고 본다. 그릇과 날개가 데워지는 양, 바깥으로 새는 열은 뺐다. 물의 비열은 4186 J/(kg·°C)이다.

질문물을 숟가락으로 오래 저으면 따뜻해질까? 된다면 얼마나 저어야 1 °C가 오를까?
복원물 1 kg의 온도를 1 °C 올리려면 열 약 4186 J이 필요하다(비열). 그리고 추가 높이 h만큼 내려가면 중력이 추에 mgh만큼 일을 한다.
설명1840년대에 줄은 추가 내려가며 물속의 날개를 돌리게 하고 물의 온도 변화를 쟀다. 추가 한 일이 모두 물의 내부 에너지가 된다면 n m g h = M c ΔT여야 한다.
연결줄은 일과 온도 상승이 늘 같은 비율을 이룬다는 것을 보였다. 이 비율 덕분에 열을 일과 같은 단위로 셀 수 있게 되었고, 에너지 단위에 그의 이름(J, 줄)이 붙었다.
적용‘한 번 떨어뜨리기’를 눌러 온도가 얼마나 오르는지 보고, 그다음 ‘20번 반복’을 눌러 보자. 물의 질량을 절반으로 줄이면 그래프의 기울기가 두 배가 되는지도 확인해 보자.
판단한 번 떨어뜨려 오르는 온도는 0.1 °C 안팎이거나 그보다 작다. 그래서 이 실험은 아주 정밀한 온도계와, 새는 열을 막는 세심한 준비가 필요했다. 또 ‘열은 물질’이라는 당시의 생각(열소설)은 저을수록 끝없이 열이 나오는 현상을 설명하지 못했다.

확인조건이 달라지면

높이 50 m 폭포에서 떨어진 물이 바닥에서 멈추며 운동 에너지가 모두 그 물의 내부 에너지가 된다면, 물의 온도는 약 몇 °C 오를까?

탐구 2

손잡이를 돌린 일과 데워진 물로 1 cal가 몇 J인지 잴 수 있을까?

실험 · 마찰 원통 장치 · 열의 일당량

추 질량 M = 5.0 kg

돌릴 횟수 N = 200

처음 온도 = 실온 0.0 °C

기울기 J (W–Q): —
참값과 차이: —
이번 온도 상승: —

구리 원통 지름 4.6 cm, 질량 200 g, 비열 0.092 cal/(g·°C). 원통 속 물 50 g. 실온 20.0 °C. 디지털 온도계 분해능 0.1 °C, 용수철저울 분해능 0.1 N. 손잡이는 1초에 두 번 돌린다. 추가 바닥에서 살짝 떠 있도록 돌리면 띠가 원통을 문지르는 마찰력은 Mg − (용수철저울 눈금)이다.

탐구 문제마찰로 한 일이 모두 열이 된다면, 일(J)과 열량(cal)은 늘 같은 비율을 이룰 것이다. 그 비율 J = W/Q, 곧 열의 일당량을 직접 재 보자.
복원원통이 한 바퀴 돌 때 띠는 원통 둘레 πD만큼 미끄러지므로, 마찰력 F가 하는 일은 FπD이다. 원통과 물이 얻은 열은 Q = (m_물c_물 + m_구리c_구리)ΔT이다.
설계줄이 1840년대에 쓴 장치는 추가 떨어지며 물속 날개를 돌리게 했다. 학교에서는 손잡이로 원통을 돌리는 이 장치(캘린더형)를 흔히 쓴다. 추의 무게와 용수철저울로 마찰력을 정하고, 회전수 N을 센다. 조작 변인은 N과 M, 종속 변인은 온도 상승 ΔT이다.
분석W = (Mg − F_s)·πD·N, Q = 68.4 cal/°C × ΔT로 계산해 표에 적는다. 가로축 Q, 세로축 W로 점을 찍으면 원점을 지나는 직선이 되고, 기울기가 J이다. 받아들여지는 값은 4.186 J/cal이다.
측정먼저 처음 온도를 실온과 같게 두고 N을 바꿔 가며 다섯 번 재자. J가 참값보다 큰가요, 작은가? 다음에는 처음 온도를 실온보다 ΔT의 절반쯤 낮춰 다시 재어 보자. 50번만 돌리면 결과가 왜 들쭉날쭉한가?
오차·안전원통이 실온보다 따뜻해지면 공기로 열을 잃어 ΔT가 작게 나오고 J가 커진다. 처음 온도를 실온보다 ΔT/2만큼 낮게 시작하면 앞부분에서 얻는 열과 뒷부분에서 잃는 열이 거의 상쇄된다(럼퍼드 보정). 회전이 적으면 0.1 °C 분해능이 ΔT에 비해 커서 우연 오차가 크다. 납 알갱이를 넣은 관을 여러 번 뒤집어 떨어뜨리는 방법도 같은 원리이다. 추가 바닥에서 너무 높이 뜨면 띠가 풀려 추가 떨어질 수 있으니 발을 추 아래에 두지 말고, 손잡이는 일정한 속도로 돌린다.

확인조건이 달라지면

같은 장치에서 원통 속 물을 50 g에서 100 g으로 늘리고, 같은 힘으로 같은 횟수만큼 돌렸다. 온도 상승과 구한 J는 어떻게 될까? (열 손실은 무시)