열역학 제1법칙

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피스톤이 달린 실린더 속 기체에 1000 J의 열을 준다. 피스톤을 꽉 고정해 두면 기체의 온도가 꽤 오른다. 그런데 피스톤이 자유롭게 밀려 나가게 두면 같은 열을 주어도 온도가 덜 오른다. 사라진 에너지는 어디로 갔을까? 또 자전거 바퀴에 바람을 넣을 때 펌프가 뜨거워지는 까닭은 무엇일까?

팽창한 부피 \(\Delta V\) (L)

그림 1. 기체가 받은 열 1000 J은 기체가 바깥에 한 일과 내부 에너지 증가로 나뉜다. 100 kPa의 일정한 압력에서 기체가 많이 팽창할수록 일로 나가는 몫이 커지고, 온도를 올리는 몫은 작아진다.

먼저 알아야 할 것일 = 힘 × 이동 거리, 에너지 보존(물리학), 이상 기체 상태 방정식(상태 변화와 이상 기체).

2.3.1내부 에너지와 기체가 하는 일

기체 분자들의 운동 에너지를 모두 더한 것을 내부 에너지라 한다. 이상 기체에서는 분자 사이의 인력을 무시하므로 내부 에너지는 온도에만 관계한다. 온도가 오르면 내부 에너지가 늘고, 온도가 내려가면 줄어든다.

기체가 압력 \(P\)로 넓이 \(A\)인 피스톤을 \(\Delta x\)만큼 밀어내면 기체가 한 일은 \(W = PA\Delta x = P\Delta V\)이다. 그러므로 압력이 일정할 때 기체가 한 일은 부피 변화에 압력을 곱한 값이다. 압력과 부피의 그래프에서는 그래프 아래의 넓이가 일이다.

정리 2.3.1 열역학 제1법칙

기체가 받은 열 \(Q\)는 내부 에너지 증가 \(\Delta U\)와 기체가 바깥에 한 일 \(W\)의 합과 같다. \[Q = \Delta U + W\] 열을 내보내면 \(Q\)가 음수, 기체가 압축되어 일을 받으면 \(W\)가 음수이다.

그림 1에서 \(\Delta V = 0\)으로 두면 피스톤이 고정된 경우로, 받은 열 1000 J이 모두 내부 에너지가 되어 온도가 가장 많이 오른다. 부피가 4 L 늘어나게 하면 400 J이 일로 나가고 600 J만 내부 에너지가 된다. 사라진 에너지는 피스톤을 밀어 올리는 데 쓰인 것이다.

2.3.2네 가지 과정

기체의 상태가 바뀌는 방식에 따라 제1법칙의 세 항 가운데 하나가 0이 되기도 한다. 부피가 일정한 정적 과정에서는 \(W = 0\)이므로 \(Q = \Delta U\)이다. 온도가 일정한 등온 과정에서는 \(\Delta U = 0\)이므로 받은 열이 모두 일이 된다. 열 출입이 없는 단열 과정에서는 \(Q = 0\)이므로 \(\Delta U = -W\)이다. 즉 단열 압축하면 받은 일만큼 온도가 오르고, 단열 팽창하면 한 일만큼 온도가 내려간다.¹

그림 2. 과정마다 제1법칙의 한 항이 0이 되어 식이 간단해진다.

2.3.3예제 풀이

예제 2.3.2

기체에 열 1000 J을 주었더니 100 kPa의 일정한 압력에서 부피가 2 L에서 6 L로 늘었다. 기체가 한 일과 내부 에너지 증가를 구하여라. 같은 열을 부피를 고정한 채 주었다면 내부 에너지 증가는 얼마인가?

부피 변화는 4 L, 곧 \(4 \times 10^{-3}\) m³이다. 기체가 한 일은 \(W = P\Delta V = 1.0 \times 10^5 \times 4 \times 10^{-3} = 400\) J이다.

제1법칙에서 \(\Delta U = Q - W = 1000 - 400 = 600\) J이다. 부피를 고정하면 일을 하지 않으므로 \(\Delta U = 1000\) J이다. 이상 기체의 내부 에너지는 온도에 비례하므로, 같은 열을 주어도 정적 가열에서 온도가 \(\dfrac{1000}{600} \approx 1.7\)배 더 오른다. 그래서 기체를 정압에서 1 K 올리는 데 드는 열(정압 몰비열)이 정적에서보다 크다.

아래 탐구 카드에서 받은 열이 일과 내부 에너지로 나뉘는 비율을 직접 바꾸어 보자.

자전거 펌프를 빠르게 누르면 열이 빠져나갈 틈이 없어 단열 압축에 가깝다. 받은 일이 내부 에너지가 되어 공기가 뜨거워진다. 반대로 스프레이를 오래 뿌리면 통이 차가워지는 것은 기체가 단열 팽창하며 일을 하기 때문이다.

마무리

기체가 받은 열은 내부 에너지 증가와 바깥에 한 일로 나뉘며, 이것이 에너지 보존을 열까지 넓힌 열역학 제1법칙 \(Q = \Delta U + W\)이다. 압력이 일정하면 기체가 한 일은 \(P\Delta V\)이다. 그래서 처음 질문의 답은 '아니다'이다. 피스톤이 밀려 나가면 열의 일부가 일로 나가 온도가 덜 오르고, 펌프는 단열 압축으로 받은 일만큼 뜨거워진다.

탐구 1

물을 저어서 데울 수 있을까?

줄의 실험 · 일과 열의 같은 단위

추 두 개의 질량 합 = 20 kg

내려가는 높이 = 1.5 m

물의 질량 = 0.5 kg

떨어뜨린 횟수: —
추가 한 일: —
물의 온도 상승: —

모식 장치이다. 추는 날개의 저항 때문에 천천히 일정한 속력으로 내려오므로, 추의 운동 에너지는 무시하고 mgh가 모두 물로 간다고 본다. 그릇과 날개가 데워지는 양, 바깥으로 새는 열은 뺐다. 물의 비열은 4186 J/(kg·°C)이다.

질문물을 숟가락으로 오래 저으면 따뜻해질까? 된다면 얼마나 저어야 1 °C가 오를까?
복원물 1 kg의 온도를 1 °C 올리려면 열 약 4186 J이 필요하다(비열). 그리고 추가 높이 h만큼 내려가면 중력이 추에 mgh만큼 일을 한다.
설명1840년대에 줄은 추가 내려가며 물속의 날개를 돌리게 하고 물의 온도 변화를 쟀다. 추가 한 일이 모두 물의 내부 에너지가 된다면 n m g h = M c ΔT여야 한다.
연결줄은 일과 온도 상승이 늘 같은 비율을 이룬다는 것을 보였다. 이 비율 덕분에 열을 일과 같은 단위로 셀 수 있게 되었고, 에너지 단위에 그의 이름(J, 줄)이 붙었다.
적용‘한 번 떨어뜨리기’를 눌러 온도가 얼마나 오르는지 보고, 그다음 ‘20번 반복’을 눌러 보자. 물의 질량을 절반으로 줄이면 그래프의 기울기가 두 배가 되는지도 확인해 보자.
판단한 번 떨어뜨려 오르는 온도는 0.1 °C 안팎이거나 그보다 작다. 그래서 이 실험은 아주 정밀한 온도계와, 새는 열을 막는 세심한 준비가 필요했다. 또 ‘열은 물질’이라는 당시의 생각(열소설)은 저을수록 끝없이 열이 나오는 현상을 설명하지 못했다.

확인조건이 달라지면

높이 50 m 폭포에서 떨어진 물이 바닥에서 멈추며 운동 에너지가 모두 그 물의 내부 에너지가 된다면, 물의 온도는 약 몇 °C 오를까?

탐구 2

멈춘 자동차의 운동 에너지는 어디로 갔을까?

마찰과 열 · 에너지 보존

처음 속력 = 100 km/h

차의 질량 = 1500 kg

열로 바뀐 에너지: —
원판 온도 상승: —
물을 20→100 °C로: —

모식이다. 네 바퀴 브레이크 원판과 패드를 합쳐 주철 30 kg(비열 460 J/(kg·°C))으로 보고, 열이 모두 여기에 머문다고(식지 않는다고) 가정했다. 실제로는 공기로 식어 이보다 낮고, 타이어와 도로도 조금 데워진다.

질문달리던 자동차가 브레이크를 밟아 섰고, 운동 에너지는 0이 되었다. 그 에너지는 어디로 갔을까?
복원운동 에너지는 ½mv²이다. 브레이크 패드는 원판을 꽉 물어 마찰력으로 차를 멈추고, 이 마찰력은 운동 방향과 반대로 일을 한다.
설명마찰로 줄어든 운동 에너지는 패드와 원판을 이루는 원자들의 무질서한 떨림, 곧 내부 에너지가 된다. 온도가 오르는 것이 그 증거이다. 이렇게 온도 차이 때문에 옮겨 가는 에너지가 열이다.
연결따라서 잃은 운동 에너지와 원판이 얻은 열을 같다고 놓으면 ½mv² = m_원판 c ΔT이다. 역학적 에너지와 열을 같은 단위(J)로 셈하면 합이 보존된다.
적용시속 100 km에서 한 번 멈출 때 원판이 몇 도 오르는지 보자. 이제 ‘긴 내리막’을 골라 높이 300 m를 브레이크만으로 내려가면 온도가 어떻게 되는지도 확인해 보자.
판단긴 내리막에서는 속력이 그대로여도 퍼텐셜 에너지 mgh가 계속 브레이크의 열이 된다. 그런데 브레이크가 지나치게 뜨거워지면 마찰력이 약해져 잘 서지 않는다. 그래서 긴 내리막에서는 기어를 낮춰 엔진 브레이크를 함께 쓴다. 또 이 모형은 식는 효과를 빼서 온도를 실제보다 높게 계산한다.

확인조건이 달라지면

같은 차가 시속 50 km에서 멈출 때와 시속 100 km에서 멈출 때, 브레이크가 받는 열을 비교하면?

탐구 3

기체에 준 열은 어디에 쓰일까?

열역학 제1법칙 · Q = ΔU + W

가한 열 Q = 1000 J

가한 열 Q: —
내부 에너지 변화 ΔU: —
기체가 한 일 W: —
나중 온도: —

단원자 이상 기체 1 mol을 다루며, 처음 상태는 300 K, 약 100 kPa, 24.9 L이다. 내부 에너지는 U = (3/2)nRT이고, W는 기체가 바깥에 한 일로 부피가 늘면 양(+), 줄면 음(−)이다.

질문같은 1000 J의 열을 기체에 주어도, 피스톤을 고정했을 때와 피스톤이 자유롭게 움직일 때 기체의 온도는 똑같이 오를까?
복원기체 분자들의 운동 에너지를 모두 더한 것을 내부 에너지라 하고, 이상 기체에서는 절대 온도에 비례한다. 그리고 기체가 피스톤을 밀며 부피가 ΔV만큼 늘면 압력 P로 PΔV만큼 일을 하며, 이 일은 P–V 그래프에서 경로 아래의 넓이이다.
설명에너지 보존에 따라 기체에 들어온 열 Q는 내부 에너지를 늘리는 데(ΔU)와 바깥에 일을 하는 데(W) 나뉘어 쓰이며, 이것이 Q = ΔU + W, 곧 열역학 제1법칙이다. 그래서 부피가 일정하면 W = 0이라 열이 모두 온도를 올리고, 압력이 일정하면 일부가 일로 빠져나가 온도가 덜 오른다.
연결온도가 일정한 과정에서는 ΔU = 0이라 받은 열이 모두 일로 바뀐다. 반면 열이 전혀 드나들지 않는 단열 과정에서는 Q = 0이라, 기체를 압축하면(W < 0) 그만큼 내부 에너지가 늘어 온도가 오르고 팽창하면 온도가 내려간다. 자전거 펌프가 뜨거워지고 스프레이를 오래 뿌리면 캔이 차가워지는 까닭이 이것이다.
적용‘부피 일정’과 ‘압력 일정’에서 같은 1000 J을 주고 나중 온도를 비교하며 두 온도 변화의 비를 구해 보자. 그리고 ‘단열’에서 부피를 절반으로 줄이면 온도가 몇 K가 되는지 확인해 보자.
판단열을 받으면 반드시 온도가 오른다는 생각은 오개념이다. 온도 일정 과정에서는 열을 받아도 온도가 그대로이고, 단열 압축에서는 열을 받지 않아도 온도가 오르기 때문이다. 즉 온도를 바꾸는 것은 열이 아니라 내부 에너지의 변화이고, 내부 에너지는 열과 일 둘 다로 바뀐다.

확인조건이 달라지면

기체에 열 500 J을 주었더니 기체가 피스톤을 밀어 바깥에 200 J의 일을 했다. 기체의 내부 에너지는?