정적분과 급수의 합

\(\lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n}\left\{\left(\dfrac{1}{n}\right)^2 + \left(\dfrac{2}{n}\right)^2 + \cdots + \left(\dfrac{n}{n}\right)^2\right\}\)을 구하라는 문제가 있다. 제곱수의 합 공식으로 계산할 수도 있지만, 이 식을 가만히 보면 폭이 \(\dfrac{1}{n}\)인 막대 \(n\)개의 넓이를 더한 것처럼 생겼다. 합의 극한을 넓이로, 곧 정적분으로 읽을 수 있다면 계산이 훨씬 간단해지지 않을까?

직사각형의 수 \(n\)

3.4.1구분구적법

구간 \([a, b]\)를 \(n\)등분하면 소구간의 폭은 \(\Delta x = \dfrac{b - a}{n}\)이고, \(k\)번째 오른쪽 끝은 \(x_k = a + k\Delta x\)이다. 높이 \(f(x_k)\)인 직사각형의 넓이를 모두 더한 \(\sum_{k=1}^{n} f(x_k)\Delta x\)는 곡선 아래 넓이의 근삿값이다. \(n\)을 한없이 키우면 막대가 가늘어지며 근삿값이 넓이에 한없이 가까워진다. 이렇게 넓이를 구하는 방법을 구분구적법이라 한다.

그림 1에서 \(n\)을 늘려 보자. \(n = 6\)이면 합은 약 0.42로 \(\dfrac{1}{3}\)보다 크지만, \(n = 60\)이면 약 0.342로 줄어든다. 직사각형이 곡선 위로 삐져나온 조각이 점점 작아지기 때문이다.¹

3.4.2합을 정적분으로 읽는 요령

주어진 합에서 \(\dfrac{1}{n}\)을 \(dx\), \(\dfrac{k}{n}\)을 \(x\)로 바꾸어 읽는다. \(\dfrac{k}{n}\)이 \(k = 1\)일 때 \(\dfrac{1}{n} \to 0\), \(k = n\)일 때 1이므로 적분 구간은 \([0, 1]\)이다. \(\dfrac{2k}{n}\)처럼 쓰여 있으면 \(x = \dfrac{2k}{n}\), \(dx = \dfrac{2}{n}\)으로 보아 구간을 \([0, 2]\)로 읽을 수도 있다. 같은 합을 여러 정적분으로 읽을 수 있지만 값은 같다.

3.4.3예제 풀이

\(\dfrac{1}{n + k} = \dfrac{1}{n} \cdot \dfrac{1}{1 + \frac{k}{n}}\)이다. \(\dfrac{k}{n}\)을 \(x\), \(\dfrac{1}{n}\)을 \(dx\)로 읽으면 구간은 \([0, 1]\)이고 함수는 \(\dfrac{1}{1 + x}\)이다.

따라서 \[\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n + k} = \int_0^1 \frac{1}{1 + x}\,dx = \Big[\ln(1 + x)\Big]_0^1 = \ln 2 \approx 0.693\] 이다. \(n = 100\)으로 직접 더하면 약 0.6907로, \(\ln 2\)에 가깝다. 이 합은 \(\dfrac{1}{n+1} + \cdots + \dfrac{1}{2n}\)으로, 조화급수의 한 토막이다. 이렇게 공식으로 계산하기 어려운 합도 정적분으로 읽으면 쉽게 구할 수 있다.

아래 탐구 카드에서 합의 극한을 넓이로 읽고, 같은 합을 서로 다른 정적분으로 읽어 보자.

1. 제곱수의 합 공식으로 직접 계산하면 \(\dfrac{1}{n^3} \cdot \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \dfrac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}\)이고, \(n \to \infty\)이면 \(\dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\)이다. 정적분과 같은 값이다.