합의 기호 ∑

\(1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + 50^2\)이나 \(3 + 7 + 11 + \cdots + 199\)처럼 규칙이 있는 긴 덧셈을 매번 '…'로 쓰면 무엇을 더하는지, 몇 개를 더하는지가 흐려진다. 더하는 규칙과 범위를 한눈에 담는 표기는 어떻게 만들까?

시작 \(k\) =

끝 \(n\) =

항 고르기

3.4.1합의 기호

수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합 \(a_1 + a_2 + \cdots + a_n\)을 기호 \(\sum\)을 써서 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_k\)로 나타낸다. \(\sum\)은 합을 뜻하는 영어 sum의 첫 글자 S에 해당하는 그리스 문자로 '시그마'라 읽는다.

기호의 각 자리가 하는 일을 그림 1로 확인하자. 아래의 \(k = 1\)은 시작, 위의 \(n\)은 끝, 오른쪽의 식은 더할 항의 규칙이다. 처음 질문의 덧셈은 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{50} k^2\)과 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{50} (4k - 1)\)로 쓸 수 있다. 여기서 문자 \(k\)는 자리만 차지하므로 \(i\)나 \(j\)로 바꾸어도 뜻이 같다.

3.4.2\(\sum\)의 성질

\(\sum\)은 덧셈을 줄여 쓴 것이므로, 덧셈의 교환법칙과 분배법칙이 그대로 성질이 된다. 두 수열의 항을 짝지어 더한 합은 따로 더한 합의 합이고, 모든 항에 같은 수를 곱한 합은 합에 그 수를 곱한 것이다.

그런데 곱과 나눗셈은 이렇게 나눌 수 없다. \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_kb_k\)는 \(\displaystyle\sum a_k \times \sum b_k\)와 다르다. \(n = 2\)만 보아도 \(a_1b_1 + a_2b_2\)와 \((a_1 + a_2)(b_1 + b_2)\)는 다르다.¹

3.4.3예제 풀이

성질을 차례로 쓰면 \(\displaystyle 3\sum a_k - 2\sum b_k + \sum 1 = 3 \times 20 - 2 \times 7 + 10 = 56\)이다. 마지막 \(\sum_{k=1}^{10} 1\)은 1을 10번 더한 것이므로 10이다.

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{50}(4k - 1)\)은 \(k = 1\)일 때 3, \(k = 50\)일 때 199인 등차수열 50개의 합이다. 따라서 \(\dfrac{50 \times (3 + 199)}{2} = 5050\)이다.

성질로 풀어도 \(4\displaystyle\sum_{k=1}^{50} k - 50 = 4 \times \dfrac{50 \times 51}{2} - 50 = 5100 - 50 = 5050\)으로 같다. 한 식을 두 방법으로 계산해 맞추어 보는 것은 \(\sum\) 계산에서 실수를 줄이는 좋은 습관이다. 아래 탐구 카드에서 \(\sum\)의 각 자리를 바꾸며 펼쳐진 덧셈을 직접 확인해 보자.

1. 시작이 1이 아닌 합은 \(\displaystyle\sum_{k=m}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} a_k - \sum_{k=1}^{m-1} a_k\)로 고쳐 계산한다.