수열의 뜻
본문1, 4, 9, 16, … 다음에 올 수는 25일까? 1, 2, 4, 8 다음은 꼭 16일까? 수를 차례로 늘어놓은 것을 수학에서는 어떻게 정확하게 다루고, '다음 수'를 확실히 말하려면 무엇이 주어져야 할까?
3.1.1수열과 항
차례로 늘어놓은 수의 열을 수열이라 하고, 늘어놓은 수 하나하나를 그 수열의 항이라 한다. 앞에서부터 첫째항, 둘째항, …, \(n\)째항이라 하고 \(a_1, a_2, \ldots, a_n, \ldots\)으로 쓴다. 수열을 간단히 \(\{a_n\}\)으로 나타낸다.
그런데 수열에서 중요한 것은 수만이 아니라 순서이다. '셋째 자리의 수'처럼 자리 번호마다 수가 하나씩 정해져 있기 때문이다. 따라서 수열은 자연수 1, 2, 3, …을 정의역으로 하고 각 자연수 \(n\)에 \(a_n\)을 대응시키는 함수로 볼 수 있다.
수열 \(\{a_n\}\)은 자연수 전체의 집합을 정의역으로 하는 함수 \(f(n) = a_n\)이다. 제\(n\)항 \(a_n\)을 \(n\)에 대한 식으로 나타낸 것을 일반항이라 한다.
그림 1에서 일반항을 바꾸어 보자. \(a_n = n^2\)의 점들은 포물선 \(y = x^2\) 위에 띄엄띄엄 놓인다. 정의역이 자연수뿐이므로 그래프는 이어진 곡선이 아니라 점의 모임이다.
3.1.2앞의 몇 항만으로는 정해지지 않는다
1, 2, 4, 8 다음은 16일 것 같다. 그런데 \(a_n = 2^{n-1}\)도 1, 2, 4, 8, 16, …이고, \(a_n = \dfrac{n^3 - 3n^2 + 8n}{6}\)도 앞의 네 항이 1, 2, 4, 8로 같다. 이 수열의 다섯째 항은 15이다.1 다시 말해 앞의 몇 항이 같아도 그 뒤가 같다는 보장은 없다.
그래서 수열을 정확하게 주려면 일반항을 주거나, 첫째항과 이웃한 항 사이의 규칙을 주어야 한다. '규칙을 짐작하는 것'과 '규칙이 주어진 것'은 다르다. 그림 1의 마지막 두 일반항을 번갈아 보면, 넷째 항까지는 점이 겹치다가 다섯째 항부터 갈라진다.
3.1.3예제 풀이
일반항이 \(a_n = n^2 - 6n + 10\)인 수열의 첫째항부터 제5항까지 구하고, 가장 작은 항을 구하여라. 또 이 수열에서 50은 제몇 항인가?
\(n = 1, 2, 3, 4, 5\)를 차례로 넣으면 5, 2, 1, 2, 5이다. 일반항을 \(a_n = (n - 3)^2 + 1\)로 고치면, \(n = 3\)일 때 가장 작은 항 1을 갖는다. 그래프로 보면 꼭짓점이 \((3, 1)\)인 포물선 위의 점들이다.
50이 제몇 항인지는 \(n^2 - 6n + 10 = 50\)을 풀면 된다. \(n^2 - 6n - 40 = 0\), 곧 \((n - 10)(n + 4) = 0\)이다. \(n\)은 자연수여야 하므로 \(n = 10\)이고, 50은 제10항이다.
방정식의 해 \(n = -4\)를 버린 것은 수열의 정의역이 자연수이기 때문이다. 함수로 보는 관점이 이런 판단의 근거가 된다. 아래 탐구 카드에서 일반항을 바꾸며 점그래프와 '다음 항'을 직접 확인해 보자.
- \(a_n = \tfrac{n^3 - 3n^2 + 8n}{6}\)에 \(n = 1, 2, 3, 4, 5\)를 넣으면 1, 2, 4, 8, 15가 된다. 이 수는 덩어리 하나를 평면으로 \(n - 1\)번 자를 때 생길 수 있는 최대 조각 수와 같다.
수열은 자연수 \(n\)마다 수 \(a_n\)을 하나씩 정하는 함수이고, 일반항은 그 대응을 \(n\)의 식으로 쓴 것이다. 앞의 몇 항이 같아도 다른 수열일 수 있으므로, 수열은 일반항이나 규칙이 주어져야 정해진다. 그래서 처음 질문의 1, 2, 4, 8 다음은 규칙이 주어지기 전에는 16이라고 단정할 수 없다.