등차수열

계단을 쌓는데 맨 아래 단에 벽돌 3개, 그 위 단에 5개, 7개, …처럼 2개씩 늘려 간다. 20번째 단에는 몇 개가 필요하고, 20단을 모두 쌓는 데는 몇 개가 필요할까? 하나하나 더하지 않고 구할 방법이 있을까?

항의 개수 \(n\) =

공차 \(d\) =

3.2.1같은 수씩 커지는 수열

3, 5, 7, 9, …처럼 첫째항부터 차례로 일정한 수를 더해 얻는 수열을 등차수열이라 하고, 더하는 일정한 수를 공차라 한다. 첫째항이 \(a\), 공차가 \(d\)이면 둘째항은 \(a + d\), 셋째항은 \(a + 2d\)이고, 제\(n\)항까지는 공차를 \(n - 1\)번 더한다.

일반항은 \(n\)에 대한 일차식이므로, 점그래프의 점들은 기울기가 \(d\)인 직선 위에 놓인다. 처음 질문의 계단은 \(a = 3\), \(d = 2\)이므로 20번째 단은 \(a_{20} = 3 + 19 \times 2 = 41\)개이다. 또 세 수 \(a\), \(b\), \(c\)가 이 순서로 등차수열이면 \(b - a = c - b\)이므로 \(b = \dfrac{a + c}{2}\)이다. 이때 \(b\)를 \(a\)와 \(c\)의 등차중항이라 한다.

3.2.2거꾸로 더해서 합 구하기

1부터 100까지의 합 \(S\)를 앞에서부터 쓰고, 그 아래에 거꾸로 써 보자. 위아래로 짝지은 \(1 + 100\), \(2 + 99\), …는 모두 101이다. 이런 짝이 100개이므로 \(2S = 100 \times 101\), 곧 \(S = 5050\)이다.

그림 1은 같은 생각을 그림으로 보인 것이다. 계단 하나를 거꾸로 뒤집어 붙이면, 칸마다 높이가 첫째항과 끝항의 합 \(a_1 + a_n\)으로 같아져 직사각형이 된다. 직사각형의 넓이는 \(n(a_1 + a_n)\)이고 계단은 그 절반이다.

두 번째 식은 \(l = a + (n - 1)d\)를 넣은 것이다. 끝항을 알면 첫째 식을, 공차를 알면 둘째 식을 쓰면 된다. 거꾸로 합 \(S_n\)을 알면 \(a_n = S_n - S_{n-1}\ (n \ge 2)\), \(a_1 = S_1\)으로 각 항을 되찾을 수 있다.¹

3.2.3예제 풀이

첫째항 3, 끝항 \(a_{20} = 41\)이므로 \(S_{20} = \dfrac{20 \times (3 + 41)}{2} = 440\)개이다. 공차로 계산해도 \(\dfrac{20\{6 + 19 \times 2\}}{2} = 440\)으로 같다.

두 번째 수열의 일반항은 \(a_n = 50 - 3(n - 1) = 53 - 3n\)이다. \(53 - 3n < 0\)에서 \(n > 17.6\)이므로 처음으로 음수가 되는 항은 제18항(\(-1\))이다.

합은 양수인 항을 더하는 동안 커지다가 음수인 항부터 줄어든다. 따라서 제17항(\(a_{17} = 2\))까지의 합이 가장 크고, 그 값은 \(S_{17} = \dfrac{17 \times (50 + 2)}{2} = 442\)이다. 아래 탐구 카드에서 계단을 직접 뒤집어 붙여 보며 합의 공식을 확인해 보자.

1. 등차수열의 합 \(S_n = \tfrac{d}{2}n^2 + \left(a - \tfrac{d}{2}\right)n\)은 상수항이 없는 \(n\)의 이차식이다. 거꾸로 \(S_n = pn^2 + qn\) 꼴이면 그 수열은 등차수열이다.