여러 가지 수열의 합

본문

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\(1 + 2 + \cdots + n\)은 \(\dfrac{n(n + 1)}{2}\)이었다. 그렇다면 \(1^2 + 2^2 + \cdots + n^2\)과 \(1^3 + 2^3 + \cdots + n^3\)은 어떤 식일까? 그리고 \(\dfrac{1}{1 \times 2} + \dfrac{1}{2 \times 3} + \cdots\)처럼 분수가 이어진 합은 어떻게 구할까?

\(n\) =

그림 1. \(k^3\)을 넓이가 \(k^3\)인 L자 띠로 그려 차례로 두르면, 한 변이 \(1 + 2 + \cdots + n\)인 정사각형이 된다.

먼저 알아야 할 것\(\sum\)의 뜻과 성질(합의 기호 ∑), 등차수열의 합, 곱셈 공식 \((a + b)^3\), 분수식의 계산.

3.5.1세 가지 기본 공식

정리 3.5.1 자연수의 거듭제곱의 합

\[\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n + 1)}{2},\qquad \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6},\qquad \sum_{k=1}^{n} k^3 = \left\{\frac{n(n + 1)}{2}\right\}^2\]

세제곱의 합이 자연수의 합의 제곱이라는 것은 그림 1로 볼 수 있다. 한 변이 \(1 + 2 + \cdots + k\)인 정사각형에서 한 변이 \(1 + 2 + \cdots + (k - 1)\)인 정사각형을 빼면 L자 띠가 남는데, 이 띠의 넓이가 정확히 \(k^3\)이다.¹ 그래서 띠를 \(k = 1\)부터 \(n\)까지 차례로 두르면 \(\sum k^3\)이 한 변 \(\sum k\)인 정사각형의 넓이와 같아진다.

3.5.2제곱의 합을 유도하기

제곱의 합은 곱셈 공식으로 유도한다. \((k + 1)^3 - k^3 = 3k^2 + 3k + 1\)을 \(k = 1\)부터 \(n\)까지 모두 더해 보자. 왼쪽은 \((2^3 - 1^3) + (3^3 - 2^3) + \cdots + \{(n + 1)^3 - n^3\}\)이므로 가운데 항이 서로 지워지고 \((n + 1)^3 - 1\)만 남는다.

오른쪽은 \(3\displaystyle\sum k^2 + 3\sum k + n\)이다. 따라서 \((n + 1)^3 - 1 = 3\displaystyle\sum k^2 + \frac{3n(n + 1)}{2} + n\)이고, \(\sum k^2\)에 대해 정리하면 \(\dfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}\)이 나온다. 다시 말해 모르는 합을 이웃한 두 항의 차로 나타내면, 더하는 동안 대부분이 지워진다.

3.5.3차로 쪼개는 분수의 합

같은 생각을 분수에 쓸 수 있다. \(\dfrac{1}{k(k + 1)} = \dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k + 1}\)이므로 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k + 1)} = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}\right)\)이다. 가운데 항이 모두 지워져 \(1 - \dfrac{1}{n + 1} = \dfrac{n}{n + 1}\)이 남는다.

그림 2. 각 항을 이웃한 두 분수의 차로 쪼개면, 더하는 동안 앞 항의 뺄셈과 뒤 항의 덧셈이 서로 지워진다.

3.5.4예제 풀이

예제 3.5.2

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{10} k(k + 2)\)와 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{20} \frac{1}{(2k - 1)(2k + 1)}\)의 값을 구하여라.

첫째 합은 전개해 \(\displaystyle\sum (k^2 + 2k) = \sum k^2 + 2\sum k\)로 나눈다. \(\displaystyle\sum_{k=1}^{10} k^2 = \frac{10 \times 11 \times 21}{6} = 385\), \(\displaystyle\sum_{k=1}^{10} k = 55\)이므로 답은 \(385 + 110 = 495\)이다.

둘째 합은 \(\dfrac{1}{(2k - 1)(2k + 1)} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2k - 1} - \dfrac{1}{2k + 1}\right)\)로 쪼갠다. 오른쪽을 통분하면 \(\dfrac{1}{2} \times \dfrac{2}{(2k - 1)(2k + 1)}\)이므로 맞는다. 더하면 가운데가 지워져 \(\dfrac{1}{2}\left(1 - \dfrac{1}{41}\right) = \dfrac{20}{41}\)이다.

\(k = 1, 2\)만 직접 더해 확인하면 \(\tfrac{1}{3} + \tfrac{1}{15} = \tfrac{6}{15} = \tfrac{2}{5}\)이고, 공식에 \(n = 2\)를 넣은 \(\tfrac{1}{2}(1 - \tfrac{1}{5}) = \tfrac{2}{5}\)와 같다. 아래 탐구 카드에서 정사각형과 L자 띠를 직접 쌓으며 공식들을 확인해 보자.

\(T_k = \tfrac{k(k + 1)}{2}\)라 하면 띠의 넓이는 \(T_k^2 - T_{k-1}^2 = (T_k - T_{k-1})(T_k + T_{k-1}) = k \times k^2 = k^3\)이다.

마무리

자연수, 제곱수, 세제곱수의 합은 공식으로 정리되며, 제곱의 합은 \((k + 1)^3 - k^3\)을 더해 가운데 항을 지우는 방법으로, 세제곱의 합은 L자 띠를 둘러 정사각형을 만드는 그림으로 얻는다. 분수의 합도 이웃한 항의 차로 쪼개면 처음과 끝만 남는다. 그래서 처음 질문의 합은 \(\tfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}\), \(\left\{\tfrac{n(n + 1)}{2}\right\}^2\), \(\tfrac{n}{n + 1}\)이다.

탐구 1

\(1^2 + 2^2 + \cdots + n^2\)은 어떻게 구할까?

여러 가지 수열의 합 · 자연수의 제곱의 합

—

줄의 개수 \(n\) = 4

하나씩 더한 \(\sum k^2\): —
\(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\): —
\((n+1)^3 - 1\): —

질문\(1 + 2 + \cdots + n\)은 거꾸로 더해 짝을 지으면 구할 수 있었다. 그런데 \(1^2 + 2^2 + \cdots + n^2\)은 짝의 합이 같지 않다. 어떻게 구할까?
복원\((a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)이다. 그리고 \(\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n + 1)}{2}\), \(\sum_{k=1}^n 1 = n\)이다.
설명항등식 \((k + 1)^3 - k^3 = 3k^2 + 3k + 1\)에 \(k = 1, 2, \cdots, n\)을 넣어 \(n\)개의 줄을 만들고 모두 더하자. 왼쪽은 위 줄의 \((k + 1)^3\)과 아래 줄의 \(k^3\)이 같아서 서로 지워지고 \((n + 1)^3 - 1^3\)만 남는다. 오른쪽은 \(3\sum k^2 + 3\sum k + n\)이다. 따라서 \(3\sum k^2 = (n + 1)^3 - 1 - \frac{3n(n + 1)}{2} - n\)이고, 정리하면 \(\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}\)이다.
연결같은 방법으로 \((k + 1)^2 - k^2 = 2k + 1\)을 쓰면 \(\sum k = \frac{n(n + 1)}{2}\)를, \((k + 1)^4 - k^4\)을 쓰면 \(\sum k^3\)을 얻는다. 이웃한 줄끼리 지워지게 만드는 이 생각은 등비수열의 합에서 \(S - rS\)를 계산한 것과 뿌리가 같다.
적용'다음 단계'를 눌러 줄을 적고, 지워지는 세제곱을 확인해 보자. \(n\)을 바꾸어도 남는 것이 늘 \((n + 1)^3\)과 \(1^3\)뿐인지 보고, 마지막 단계에서 하나씩 더한 값과 공식 값이 같은지도 확인해 보자.
판단\(\sum k^2\)을 \((\sum k)^2\)으로 계산하는 실수가 흔하다. \(n = 3\)이면 \(1 + 4 + 9 = 14\)이지만 \((1 + 2 + 3)^2 = 36\)이다. 또 공식은 \(k = 1\)부터의 합이므로, 다른 번호에서 시작하면 1부터의 합 두 개의 차로 구한다.

확인조건이 달라지면

\(\sum_{k=1}^{10} (k^2 + k)\)의 값은?

탐구 2

세제곱을 모으면 왜 정사각형이 될까?

여러 가지 수열의 합 · 자연수의 세제곱의 합

\(n\) = 4

살펴볼 띠 \(k\) = 3

k번째 띠의 넓이: —
\(1^3 + \cdots + n^3\): —
\((1 + \cdots + n)^2\): —

작은 칸 하나의 넓이가 1이다. 띠는 한 변이 \(1 + \cdots + (k - 1)\)인 정사각형을 \(1 + \cdots + k\)인 정사각형으로 키울 때 덧붙는 부분이다.

질문\(1^3 = 1\), \(1^3 + 2^3 = 9\), \(1^3 + 2^3 + 3^3 = 36\), \(1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 = 100\)으로 합이 모두 제곱수이다. 우연일까?
복원\(1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n + 1)}{2}\)이다. 그리고 한 변이 \(a\)인 정사각형을 한 변이 \(b\)인 정사각형으로 키우면 덧붙는 ㄱ자 모양의 넓이는 \(b^2 - a^2\)이다.
설명\(T_k = 1 + 2 + \cdots + k = \frac{k(k + 1)}{2}\)라 하자. 한 변이 \(T_{k-1}\)인 정사각형에서 \(T_k\)인 정사각형으로 키울 때 덧붙는 띠의 넓이는 \(T_k^2 - T_{k-1}^2 = (T_k - T_{k-1})(T_k + T_{k-1}) = k \cdot k^2 = k^3\)이다(\(T_k - T_{k-1} = k\), \(T_k + T_{k-1} = k^2\)). 이 띠를 1번부터 \(n\)번까지 모으면 한 변이 \(T_n\)인 정사각형이 되므로 \(\sum_{k=1}^n k^3 = \left\{\frac{n(n + 1)}{2}\right\}^2\)이다.
연결이 공식은 제곱의 합처럼 \((k + 1)^4 - k^4 = 4k^3 + 6k^2 + 4k + 1\)을 \(k = 1\)부터 \(n\)까지 더해서도 얻을 수 있다. 그림은 그 결과가 왜 \((\sum k)^2\)이라는 깔끔한 모양이 되는지 보여 준다. 그리고 세 공식 \(\sum k, \sum k^2, \sum k^3\)과 \(\sum\)의 성질을 함께 쓰면 일반항이 \(n\)의 다항식인 수열의 합을 구할 수 있다.
적용\(k\)를 움직이며 띠의 넓이가 \(k^3\)인지 칸을 세어 보자. \(n\)을 늘리며 정사각형의 한 변이 얼마씩 커지는지 보고, 두 수치 \(1^3 + \cdots + n^3\)과 \((1 + \cdots + n)^2\)이 늘 같은지도 확인해 보자.
판단\(\sum k^3 = (\sum k)^2\)은 세제곱에서만 성립하는 특별한 관계이다. 그래서 \(\sum k^2 = (\sum k)^2\)이나 \(\sum k^4 = (\sum k^2)^2\)처럼 일반화하면 틀린다. 또 그림은 공식이 왜 맞는지 보여 주지만, 모든 \(n\)에 대한 증명은 위의 넓이 계산(또는 수학적 귀납법)이 맡는다.

확인조건이 달라지면

\(\sum_{k=11}^{20} k^3\)의 값은?

탐구 3

분수를 차로 쪼개면 무엇이 남을까?

여러 가지 수열의 합 · 분수 꼴 수열의 합

더하는 항의 개수 \(n\) = 4

하나씩 더한 합: —
남는 항: —
남는 항의 값: —

질문\(\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \cdots\)처럼 분모가 이웃한 수의 곱인 분수를 더하면, 통분할수록 분모가 커진다. 더 쉬운 길이 있을까?
복원\(\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1} = \frac{(k + 1) - k}{k(k + 1)} = \frac{1}{k(k + 1)}\)이다. 그리고 분모를 유리화할 때 \((\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b}) = a - b\)를 쓴다.
설명항을 \(\frac{1}{k(k + 1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}\)처럼 두 수의 차로 쪼개면 앞 줄의 뒤쪽 수와 다음 줄의 앞쪽 수가 같아 지워진다. 그래서 \(\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k + 1)} = 1 - \frac{1}{n + 1} = \frac{n}{n + 1}\)이다. 분모의 두 수가 2만큼 차이 나면 \(\frac{1}{k(k + 2)} = (\frac{1}{2})(\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 2})\)처럼 앞에 1/(차)를 곱하고, 두 줄 건너 지워지므로 처음 두 개와 끝 두 개가 남는다. 또 \(\frac{1}{\sqrt{k + 1} + \sqrt{k}}\)는 유리화하면 \(\sqrt{k + 1} - \sqrt{k}\)이므로 합은 \(\sqrt{n + 1} - 1\)이다.
연결합을 '지워지는 차'의 모양으로 바꾸는 생각은 제곱의 합 공식을 구할 때 \((k + 1)^3 - k^3\)을 더한 것과 같다. 이런 합은 여러 줄을 더해도 처음과 끝만 남기 때문에 항의 개수와 상관없이 짧은 식이 된다.
적용세 가지 수열을 차례로 고르고 \(n\)을 늘리며 각 경우 몇 개의 수가 남는지 세어 보자. 첫 번째 수열의 아래 띠가 \(n\)이 커질수록 1에 가까워지는 것도 확인할 수 있다.
판단\(\frac{1}{k(k + 2)}\)을 \(\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 2}\)로만 쪼개는 실수가 흔하다. 이 차는 \(\frac{2}{k(k + 2)}\)이므로 \(\frac{1}{2}\)을 곱해야 한다. 또 남는 항을 셀 때 앞에서 남는 것과 뒤에서 남는 것을 모두 적어야 한다. 그래서 쪼갠 뒤 몇 개를 적어 보고 지워지는 짝을 직접 확인하는 습관이 안전하다.

확인조건이 달라지면

\(\sum_{k=1}^{20} \frac{1}{k(k + 1)}\)의 값은?