피자 자르기와 점화식

둥근 피자를 곧은 칼질로 나누려 한다. 칼질은 늘 피자를 끝에서 끝까지 가로지르고, 조각의 크기는 같지 않아도 된다. 칼질 한 번이면 2조각, 두 번이면 4조각이다. 세 번이면 모두 중심을 지나게 해서 6조각이 되지만, 조금 비켜 자르면 7조각까지 나온다. 칼질을 여섯 번 하면 가장 많이 몇 조각이 될까? 조각을 하나하나 세지 않고 규칙으로 알아낼 수 있을까?

1.2.1칼질 한 번이 늘리는 조각

새 칼선이 피자를 가로지르는 동안 이미 그어진 칼선을 만날 때마다 한 번씩 끊긴다. 앞의 칼선이 \(k - 1\)개 있고 새 칼선이 그 모두와 서로 다른 점에서 만나면, 새 칼선은 \(k\)개의 구간으로 나뉜다. 그리고 각 구간은 지나가는 조각 하나를 둘로 가르므로, 조각이 정확히 \(k\)개 늘어난다. 그래서 칼선끼리 평행하지 않고 세 칼선이 한 점에서 만나지 않게 자르면 조각이 가장 많아진다.

점화식을 풀면 등차수열의 합이 나온다. 칼질마다 늘어나는 조각 수가 1, 2, 3, 4처럼 하나씩 커지므로, 처음 한 조각에 이 수들을 모두 더하면 된다. 그래서 조각 수는 칼질 횟수의 제곱에 가깝게 빨리 늘어난다. 칼질 10번이면 56조각, 100번이면 5051조각이다. 이 수열은 대충 자르는 요리사도 최대한 많은 조각을 얻는 방법이라는 농담에서 게으른 요리사의 수열이라 부른다.¹

1.2.2케이크를 입체로 자르면

둥근 케이크를 평면 칼질로 자르면 조각이 더 빨리 늘어난다. 새 평면은 앞의 평면들과 만나는 직선들로 나뉘는데, 그 직선들이 새 평면을 나누는 방법이 바로 피자 자르기이다. 그래서 \(n\)번째 칼질은 피자를 \(n - 1\)번 자른 만큼의 조각, 곧 \(P_{n-1}\)개를 새로 만든다. 이 점화식을 풀면 \(n\)번 자른 케이크의 최대 조각 수는 \(\dfrac{n^3 + 5n + 6}{6}\)이다. 한 차원의 문제가 그보다 낮은 차원의 문제를 품고 있는 셈이다.

1.2.3예제 풀이

점화식으로 \(P_1 = 2\), \(P_2 = 4\), \(P_3 = 7\), \(P_4 = 11\), \(P_5 = 16\), \(P_6 = 22\)이다. 일반항으로도 \(\dfrac{36 + 6 + 2}{2} = 22\)이다. 여섯 칼선이 모두 중심을 지나면 칼선들이 한 점에서만 만나 새 칼질이 조각을 2개씩만 늘리므로 12조각뿐이다.

케이크는 \(1\)조각에서 칼질마다 \(P_0, P_1, P_2, P_3\), 곧 1, 2, 4, 7조각씩 늘어나 \(1 + 1 + 2 + 4 + 7 = 15\)조각이다. 일반항으로도 \(\dfrac{64 + 20 + 6}{6} = 15\)이다. 즉 새 칼질이 앞의 칼선을 몇 번 가로지르는지만 따지면 조각 수의 점화식이 세워지고, 그것을 풀어 칼질 횟수만으로 최대 조각 수를 구할 수 있다.

아래 탐구 카드에서 칼질 횟수와 자르는 방식을 바꾸며 교점과 조각 수가 함께 변하는 것을 확인해 보자. 집에서는 종이에 큰 원을 그리고 자로 직선을 하나씩 더 그어 가며, 조각 수가 표의 값대로 늘어나는지 직접 세어 보자.

1. 이 문제는 1826년 스위스의 수학자 슈타이너가 평면을 직선으로 나누는 문제로 처음 풀었다. 칼질 여섯 번으로 22조각을 만들려면 조각 크기가 크게 차이 나므로, 실제로 나누어 먹을 때는 중심을 지나는 12조각이 더 공평하다.