등비수열

바둑판 첫째 칸에 쌀 1톨, 둘째 칸에 2톨, 셋째 칸에 4톨처럼 칸마다 두 배씩 놓으면 64번째 칸까지 쌀은 모두 몇 톨일까? 등차수열처럼 거꾸로 더하는 방법은 여기서 통하지 않는다. 곱해 가는 수열의 합에는 어떤 요령이 있을까?

공비 \(r\) =

3.3.1같은 수씩 곱해 가는 수열

1, 2, 4, 8, …처럼 첫째항부터 차례로 일정한 수를 곱해 얻는 수열을 등비수열이라 하고, 곱하는 일정한 수를 공비라 한다. 첫째항이 \(a\), 공비가 \(r\)이면 제\(n\)항까지는 \(r\)을 \(n - 1\)번 곱하므로 일반항은 \(a_n = ar^{n-1}\)이다.

일반항이 지수함수의 꼴이므로, \(r > 1\)이면 항이 지수함수처럼 빠르게 커진다. 그림 1에서 공비를 바꾸어 보자. \(|r| < 1\)이면 항이 0에 가까워지고, \(r < 0\)이면 부호가 번갈아 바뀐다. 세 수 \(a\), \(b\), \(c\)가 이 순서로 등비수열이면 \(\dfrac{b}{a} = \dfrac{c}{b}\)이므로 \(b^2 = ac\)이고, 이때 \(b\)를 등비중항이라 한다.

3.3.2공비를 곱해 빼기

바둑판의 쌀을 \(S = 1 + 2 + 4 + \cdots + 2^{63}\)이라 하자. 양변에 공비 2를 곱하면 \(2S = 2 + 4 + \cdots + 2^{63} + 2^{64}\)이다. 두 식을 위아래로 놓고 빼면, 가운데 항들이 모두 지워지고 \(2S - S = 2^{64} - 1\)만 남는다. 따라서 \(S = 2^{64} - 1\)이다.

즉 등비수열의 합은 '공비를 곱한 식과 원래 식이 한 칸씩 어긋나 겹친다'는 성질로 구한다. 이 방법을 일반적인 경우에 쓰면 다음 공식이 나온다.

공비가 1이면 모든 항이 같아 빼는 방법을 쓸 수 없으므로 따로 둔다. \(r > 1\)이면 앞의 꼴을, \(r < 1\)이면 뒤의 꼴을 쓰면 분자와 분모가 양수가 되어 계산이 편하다.¹

3.3.3예제 풀이

쌀은 \(2^{64} - 1\)톨이다. \(2^{64} = 2^4 \times (2^{10})^6 \approx 16 \times 10^{18}\)이므로 약 \(1.6 \times 10^{19}\)톨이다. 무게는 \(1.6 \times 10^{19} \times 0.02 = 3.2 \times 10^{17}\) g, 곧 약 \(3.2 \times 10^{11}\)톤, 3200억 톤이다. 이것은 지금 전 세계가 한 해에 생산하는 쌀(약 5억 톤)의 수백 배이다.

적금은 첫해에 넣은 100만 원이 10년 동안 \(1.05^{10}\)배, 둘째 해에 넣은 돈이 \(1.05^9\)배, …, 마지막 해에 넣은 돈이 \(1.05\)배가 된다. 따라서 합은 \(100(1.05 + 1.05^2 + \cdots + 1.05^{10})\)만 원이다.

이것은 첫째항 \(1.05\), 공비 \(1.05\), 항이 10개인 등비수열의 합이므로 \(100 \times \dfrac{1.05(1.05^{10} - 1)}{0.05} \approx 100 \times \dfrac{1.05 \times 0.63}{0.05} \approx 1323\)만 원이다. 넣은 원금 1000만 원보다 약 323만 원이 많다. 아래 탐구 카드에서 공비를 바꾸며 항과 합이 어떻게 자라는지 직접 확인해 보자.

1. \(|r| < 1\)이면 \(n\)이 커질수록 \(r^n\)이 0에 가까워져 합이 \(\tfrac{a}{1 - r}\)에 가까워진다. 이것은 미적분Ⅱ의 급수에서 다룬다.